导数与导数的运算核心考点·精准研析考点一导数的计算1.下列求导运算正确的是()A.(sina)′=cosa(a为常数)B.()′=C.(cosx)′=sinxD.(x-5)′=-x-62.函数f(x)=x2+lnx+sinx+1的导函数f′(x)=()A.2x++cosx+1B.2x-+cosxC.2x+-cosxD.2x++cosx3.函数f(x)=的导函数f′(x)=()A.tanxB.-C.-D.-4.(2018·天津高考)已知函数f(x)=exlnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为.【解析】1.选B.(sina)′=0(a为常数),()′=()′==,(cosx)′=-sinx,(x-5)′=-5x-6.2.选D.由f(x)=x2+lnx+sinx+1得f′(x)=2x++cosx.3.选D.f′(x)==-.4.因为f(x)=exlnx,所以f′(x)=(exlnx)′=(ex)′lnx+ex(lnx)′=ex·lnx+ex·,f′(1)=e1·ln1+e1·=e.答案:e题2中,若将“f(x)=x2+lnx+sinx+1”改为“f(x)=+”,则f′(x)=.【解析】因为f(x)=+=,所以f′(x)=′==.答案:【秒杀绝招】排除法解T3,根据sinx=0时f(x)无意义,所以f′(x)也无意义排除A,C,cosx=0时f(x)有意义,所以f′(x)也应有意义排除B.考点二导数的应用【典例】1.f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于()A.B.C.D.2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)=2xf′(e)-lnx,则f′(e)=.3.(2020·宝鸡模拟)二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,若其导函数为f′(x)=3x-,则f(x)=.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由f′(-1)=4,想到求f′(x),列方程2由f′(e)想到求f′(x)并代入x=e3由二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,想到设函数的解析式为f(x)=ax2+bx【解析】1.选D.因为f′(x)=3ax2+6x,所以f′(-1)=3a-6=4,解得a=.2.因为f(x)=2xf′(e)-lnx,所以f′(x)=2f′(e)-,令x=e得:f′(e)=2f′(e)-,即f′(e)=.答案:3.根据题意,二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,设其解析式为f(x)=ax2+bx,则有f′(x)=2ax+b,又由f′(x)=3x-,得2ax+b=3x-,则a=,b=-,故f(x)=x2-x.答案:x2-x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数f(x)及其导数f′(x).1.(2020·宜昌模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f′(1)·2x+x2,则f′(2)=()A.B.C.D.-2【解析】选C.因为f′(x)=f′(1)·2xln2+2x,所以f′(1)=f′(1)·2ln2+2,解得f′(1)=,所以f′(x)=·2xln2+2x,所以f′(2)=×22ln2+2×2=.2.函数f(x)=lnx+a的导函数为f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,)D.(1,)【解析】选A.由函数f(x)=lnx+a可得f′(x)=,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的01,lnx0<0,所以a=-lnx0>1,故有a>1.考点三导数几何意义的运用命题精解1.考什么:(1)求切线方程、求切点坐标、与切线有关求参数的值或取值范围.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养2.怎么考:与直线的方程、不等式等结合考查直线的斜率、直线的点斜式方程、导数的几何意义等问题读3.新趋势:以三角函数、指数函数、对数函数为载体,与求导数和导数的几何意义交汇考查.学霸好方法1.注意两类切线问题的区别(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.(2)“切点”与“公共点”:某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个(即除了切点之外可能还有其他公共点).2.利用导数求曲线的切线方程若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步:第一步:设出切点坐标P′(x1,f(x1));第二步:写出曲线在点P′(x1,f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.已知切点求切线的方程问题【典例】(2019·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.【解析】y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以k=y′|x=0=3,所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.答案:3x-y=0用导数的几何意义求曲线的切线方...
