备战高考数学一轮复习（热点难点）专题71 定模型求离散型随机变量的期望与方差 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题71定模型求离散型随机变量的期望与方差考纲要求:（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.基础知识回顾:1、离散型随机变量的期望与方差.①期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.②方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4、均值与方差的常用性质：(ⅰ)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；若已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解.(ⅱ)若X服从二点分布，则E(X)＝p，D(X)＝pq.一般地，若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．(ⅲ)若X服从超几何分布，则E(X)＝；若X服从几何分布：E(X)＝；D(X)＝。应用举例:类型一、相互独立事件的概率例1【2018届江西省南昌三中上第二次考试】在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为．（1）请在图中补全频率分布直方图；（2）若大学决定在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试（I）若大学本次面试中有三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为，求甲同学面试成功的概率；（II）若大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官的面试，第3组总有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望．【答案】（1）见解析，（2），0123(2)(Ⅰ)(Ⅱ)0123，例2【2017四川模拟】某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛，复赛，甲、乙两个代表队，（每队人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得分，答错得分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分.（1）求的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率.【答案】（1）的分布列为数学期望.（2）.;.的分布列为.点评：(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；互斥事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．类型二：求离散型随机变量的均值与方差例3【2017浙江，8】已知随机变量满足P（...