第63讲熟练公式灵活赋值解决二项式定理问题考纲要求:(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题基础知识回顾:1．二项式定理:(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*)．.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数.式中的Can－rbr叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即展开式的第r项，Tr＋1＝Can－rbr，.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<(n+1)/2时，二项式系数是递增的；当k>(n+1)/2时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项即第＋1项取得最大值．当n是奇数时，中间两项即第，项相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.4．二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．应用举例:类型一、求展开式中的特定项1.求展开式中的常数项例1【2018届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】的展开式的常数项是（）A.-3B.-2C.2D.3【答案】C【解析】先求出展开式中的系数，，令，所以，展开式中常数项为-1，因此的展开式的常数项是，选C.2.几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题例2【2018届山西省山大附中等晋豫名校高三年级第四次调研诊断】，则__________．【答案】28【解析】令，则，设的展开式含有项，，令，，所以.3.几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题例3【2018届山西实验中学、南海桂城中学高三上学期联考】的展开式中的系数是（）A.56B.84C.112D.168【答案】D【解析】根据和的展开式的通项公式可得，的系数为,故选D.4.三项展开式中特定项(系数)问题例4【2018届广西贺州市桂梧高中高三上学期第四次联考】的展开式的第4项的系数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.点评：1．对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．3．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．类型二、二项式系数的性质与各项系数和1.求展开式中的二项式系数或项的系数例5【2018届湖南师范大学附属中学高三11月月考】已知，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令，得，而表示的系数，，故选D.例6【2018届浙东北联盟高三上期中】的展开式中各项二项式系数之和为64，则__________，展开式中的常数项为__________．【答案】660【解析】的展开式中各项二项式系数之和为，，，其通项为，令常数项为，故答案为.2.赋值法求展开式中各项系数和例7、若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为()A．1或－3B．－1或3C．1D．－3解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得a0－a1＋a2－…－a9＝m9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，即(a0＋a1＋a2＋…＋a9)·(a0－a1＋a2－…－a9)＝39，即(2＋m)9·m9＝39，所以(2＋m)m＝3，解得m＝1或－3.例8【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】二项式中，所有的二项式系数之和为___________；系数最大的项为_________．【答案】32【解析】所有的二项式系数之和为，展开式为，系数最大...
