专题54抛物线几何性质的应用很关键考纲要求:1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．3．掌握抛物线的简单几何性质,理解数形结合的思想．基础知识回顾:1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离□____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的□________，直线l叫做抛物线的□______.答案：相等焦点准线＋x0－x0＋y0－y02．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．(3)＋为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．应用举例:类型一、求抛物线的标准方程【例1】已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若（其中点位于、之间），且，则此抛物线的方程为（）．A.B.C.D.【答案】C【例2】【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线的焦点为，过焦点倾斜角图1为的直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为A.B.C.D.【答案】C【例3】【2017届北京市昌平区高三第二次统一练习】双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线的右焦点恰是抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为____________.【答案】【解析】，渐近线方程为，，双曲线右焦点为，即，抛物线准线方程为，故答案为，.点评：1、求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．2、求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．类型二、抛物线的焦点弦问题1、焦点弦的弦长问题【例4】【2018届甘肃省兰州第一中学高三上9月月考】已已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，因为点在第一象限且，所以，联立，得，则，解得，即直线的斜率为；故选A.点评：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2、焦点弦中距离之和最小【例5】【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．10【答案】A3、焦点三角形问题【例6】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.B.C.D．2解析：如图，设A(x0，y0)，不妨设y0＜0，由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线焦点F(1,0)，抛物线准线方程为x＝－1，故|AF|＝x0－(－1)＝3，可得x0＝2，y0＝－2，故A(2，－2)，直线AB的斜率为k＝＝－2，直线AB的方程为y＝－2x＋2，联立直线与抛物线方程，可得2x2－5x＋2＝0，得x＝2或x＝，所以B点的横坐标为，可得|BF|＝－(－1)＝，|AB|＝|AF|＋|BF|＝3＋＝，O点到直线AB的距离为d＝，所以S△AOB＝|AB|d＝.答案：C类型三、与抛物线有关的最值问题1、动弦中点到坐标轴距离最短问题【例7】已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.B.C．1D．2解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.2、到焦点与定点距离之和最小问题【例8】【2017届黑龙江省佳木斯市第一中学高三下第三次模拟】为抛物线上任意一点，在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为__________．【答案】3、到点与准线的距离之和...
