专题40高考中的常青树--一元二次不等式考纲要求:1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．基础知识回顾:1.一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|xx2}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}2.一元二次不等式的解法设一元二次不等式为ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中Δ＝b2－4ac，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根且x1＜x2.(1)当a＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}；若Δ＝0，则不等式的解集为；若Δ＜0，则不等式的解集为R.(2)当a＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x1＜x＜x2}；若Δ＝0，则不等式的解集为∅；若Δ＜0，则不等式的解集为∅.3.一元二次不等式恒成立的条件（1）不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或应用举例:类型一、一元二次不等式的解法【例1】【2017山东烟台市高三摸底考试】已知函数f(x)＝则不等式f(x)－x≤2的解集是________．【答案】.【解析】当x≤0时，原不等式等价于2x2＋1－x≤2，∴－≤x≤0；当x>0时，原不等式等价于－2x－x≤2，∴x>0.综上所述，原不等式的解集为.【例2】【2017河北省冀州中学高三摸底考试】不等式≥－1的解集为________．【答案】.【解析】将原不等式移项通分得≥0，等价于所以原不等式的解集为.【例3】【2017浙江省宁波市高三入学考试】不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________．【答案】.点评：解一元二次不等式的4个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如“题组练透”第3题中(1)题；(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．类型二、含参数的一元二次不等式的解法角度一：两根大小引起的分类讨论【例4】【福建省2016届高三毕业班总复习】已知函数，（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）比较的大小；（Ⅲ）解关于x的不等式．【答案】（1）（2）见解析（3）见解析（3） 不等式当时，有，∴不等式的解集为；当时，有，∴不等式的解集为；当时，不等式的解集为．角度二：两根符号引起的分类讨论【例5】【宁夏大学附属中学2018届高三上学期第三次月考】求不等式的解集.【答案】见解析角度三：判别式引起的分类讨论【例6】【2017河北省定州中学高三月考】解关于x的不等式2x2+kx-k≤0.【答案】见解析【解析】由已知得Δ=k2+8k=k(k+8).(1)当Δ＞0,即k＜-8或k＞0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根.所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是：(2)当Δ=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根，所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是即{0}或{2}.(3)当Δ＜0，即-8＜k＜0时，方程2x2+kx-k=0无实根,即不等式的解集为.综上所述，关于x的不等式2x2+kx-k≤0的解集为：(1)当k＜-8或k＞0时，(2)当k=-8时，{2}或k=0时，{0}；(3)当-8＜k＜0时，.点评：解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒]当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．类型三、一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围【例7】【2017浙江省温州...
