专题38数列结合其他问题考查更精彩考纲要求:能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．基础知识回顾:1.数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下2.等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．3.等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．4.递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．应用举例:类型一、等差数列与等比数列的综合应用【例1】【2017河南省郑州市高三质检】在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列；(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.【答案】（1）an＝2n＋10.（2）见解析；（3）Tn＝.①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1.所以Tn＝.【例2】【2017河南省天一大联考】已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.【答案】（1）；（2）.类型二、数列与函数的交汇【例3】【天津市耀华中学2018届高三上学期第二次月考】已知曲线：，：（），从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点.设，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，数列的前项和为，求证：；（Ⅲ）若已知（），记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.（2） ，所以：，∴当时，，∴（当时取“”）.【例4】【2017大连市一中高三摸底考试】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n(n∈N*)．(1)求f(x)的解析式；(2)若数列{an}满足＝f′，且a1＝4，求数列{an}的通项公式．【答案】（1）f(x)＝x2＋2nx(n∈N*)．（2）an＝(n∈N*)．【解析】(1)由f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝2n，得b＝2n，又f(x)的图象过点(－4n,0)，所以16n2a－4nb＝0，解得a＝.所以f(x)＝x2＋2nx(n∈N*)．(2)由(1)知f′(x)＝x＋2n(n∈N*)，所以＝＋2n，即－＝2n.所以－＝2(n－1)，－＝2(n－2)，…－＝2，以上各式相加得－＝n2－n，所以an＝，即an＝(n∈N*)．类型三、数列与不等式的交汇【例5】【江西省宜春市2017届高三六校联考】已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为__________．【答案】【解析】由于，，成等比数列，所以,即,解得所以.类型四、等差数列与等比数列的实际应用【例6】某企业在2016年初贷款M万元，年利率为m，从该年的年末开始计算，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值是____________【答案】所以的值是【例7】在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”。这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有盏灯．【答案】考点：等比数列求和．方法、规律归纳:1.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．2．数列与函数的综合一般体现在两个方面(1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．实战演练:1．【宁夏育才中学2018届高三上学期第三次月考】已知数列的前项和为，且，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】即对任意都成立，当时，当时，当时，归纳得：故选点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列的前项和为，为求的取值范围则根据为奇数和为偶数两种...
