备战高考数学一轮复习（热点难点）专题35 数列求和的类型和方法-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题35数列求和的类型和方法考纲要求:1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法(①分组求和；②拆项相消；③错位相减；④倒序相加；⑤并项求和)．基础知识回顾:1．等差、等比数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d；Sn＝＝na1＋d；Sn＝2．一些常见数列的前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.3、非等差、等比数列求和的常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．(2)分组转化求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．(4)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．应用举例:类型一、公式法求和【例1】【2017滨州质检】已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．【答案】27×＝9＋18＝27.【例2】【2017大连市一中高三摸底考试】已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.【答案】an＝.Tn＝2n－1.类型二、分组转化法求和【例3】已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题第二步数列求和，由于通项公式符合使用错位相减法，所以利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（1）当时，，当时，当时，不满足上式，故（2），令①②①—②得：，．【点睛】已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.【例4】【2017贵州省贵阳市一中高三摸底考试】已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q＞1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.【答案】an＝3n.Sn＝－(3n－1)＋n2.Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－(3n－1)＋n2.点评：分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．(3)某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．类型三、错位相减法求和【例5】【湖南省衡阳市第八中学2018届高三上学期第三次月考】已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（2），∴，①，②-②，得，∴.【例6】已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）两式相减得所以.类型四、列项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．归纳起来常见的命题角度有：角度一：形如an＝型【例7】【山西省榆社中学2018届高三11月月考】设为数列的前项和，，数列满足.（1...