备战高考数学一轮复习（热点难点）专题36 到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题36到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式考纲要求:1、掌握放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：2、掌握放缩的技巧与方法.基础知识回顾:放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：①等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）②等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）③错位相减：通项公式为“等差等比”的形式④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。④若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：①裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）②等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题：①此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明应用举例:类型一：与前n项和相关的不等式例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）（2）由（1）知，，即，若数列为等比数列，则有，而，，，故，解得，再将代入，得，例2.记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设，则因此由，因此中最大项必在A中，由（2）得.试题解析：（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.（2）因为，，所以.因此，.综合①②③得，.类型二、与通项运算相关的不等式例3.设函数，数列满足：．（1）求证:时，；（2）求证:（）；（3）求证:（）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．故，则有：例4.已知是数列的前项和，且对任意，有.其中为实数，且.（1）当时，①求数列的通项；②是否存在这样的正整数，使得成等比数列？若存在，给出满足的条件，否则，请说明理由.（2）当时，设，①判定是否为等比数列；②设，若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）①；②不存在；（2）①当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列，当时，，不是等比数列；②．方法、规...