专题19把你的知识综合起来考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。基础知识回顾:1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.3.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.应用举例类型一、利用导数研究函数的单调性【例1】【广东省中山市第一中学2018届高三第一次统测】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值；（3）若函数与直线有三个不同交点，求的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间是，，单调递减区间是（2）-20.（3）【例2】【山西省河津三中2018届高三一轮复习阶段性测评】已知函数在处有极值10.（1）求实数的值；（2）设，讨论函数在区间上的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意得到关于m的方程组，解方程组求得即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性。（2）由（1）可知，∴当变化时，的变化情况如下表：1+0-0+增极大减极小增∴①当，即时，在区间上的单调递增；综上所述：当或时，在区间上单调递增；当时，在区间上上单调递增，在上单调递减；当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在上单调递增.点睛：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误。（2）第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况。类型二、用导数研究函数的极值(多维探究)【例3】已知函数.(1)求函数的极值点;(2)若f(x)≥x2+1在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.【答案】（1）当t≥0时,f(x)没有极值点；当t<0时,f(x)的极小值点为x=ln(-t),没有极大值点.（2）【解析】试题分析：(1)首先对函数求导，考虑到导函数含有参数，对参数大于等于0,和小于0两种情况进行讨论。(2)恒成立问题,首先利用参数分离，得到，再令，原问题转化为，从而求出参数的范围。【例4】已知函数.（1）求函数；（2）设函数，其中a∈(1，2)，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值.【答案】(1)是函数的极小值点，极大值点不存在.（2）的最小值为【解析】试题分析：对函数求导，令导数为零，求出值，划分区间，研究导数在个区间内的符号，得出极值点；写出函数，求导得出，令，得出，研究的单调性，根据，得出的范围，求出最值.试题解析：（1）函数的定义域为，，由f′(x)=0得，所以f′(x)在区间上单调递减，在上单调递增.所以是函数的极小值点，极大值点不存在.（2），则,由,得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.当a∈（1，2），，由于，当时，取得最小值为.类型三、利用导数求函数的最值【例5】【山东省临沂市临沭第一中学2018届高三10月学情调研测试】设函数讨论的单调性；若有最大值-ln2，...
