专题15导数法巧解单调性问题考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).基础知识回顾:用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。②已知函数的增（减）区间，应得到≥（≤）0，必须要带上等号。③求函数的单调增（减）区间，要解不等式＞0，此处不能带上等号。④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。应用举例:类型一、判断或证明函数的单调性【例1】【云南省师范大学附属中学2018届高三高考适应性月考】设函数（1）若，求过原点与相切的直线方程；（2）判断在上的单调性并证明.【答案】(1)；(2)当时，在上单调递增；当时，在上单减，在上单增．.即当时，在上单调递增；当，即时，解得，即当时，在上单减，在上单增．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单减，在上单增．【例2】【2017广东省珠海市高三摸底考试】函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．讨论f(x)的单调性．【答案】见解析点评：导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的3步骤(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．[提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．类型二、求函数的单调区间【例3】【山东省济南第一中学2018届高三上学期开学考试】已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）增区间是和，减区间是.(2)，令，即，解得，，当或时，，当时，，故的增区间是和.减区间是.【例4】【2017四川省成都市高三摸底】已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，求g(x)的单调区间．【答案】a＝；减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝(2)由(1)得g(x)＝ex，故g′(x)＝ex＋ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数．综上知，g(x)的减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．点评：确定函数单调区间4步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．类型三、已知函数的单调性求参数的范围【例5】【黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考】已知函数在点处的切线方程为.（1）若函数在时有极值，求的解析式；（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)f(x)＝－x3－2x2＋4x－3(2)[4，＋∞)由①②③解得a＝－2，b＝4，c＝－3，所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.(2)因为函数f(x)在区间[－2，0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2，0]上的值恒大于或等于零，则得b≥4，所以实数b的取值范围是[4，＋∞)．【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调...
