专题11零点、根、交点教你如何转化考纲要求:1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．基础知识回顾:一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数（，把使成立的实数叫做函数（的零点。函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距、极值点等。（2）函数零点的意义：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图像与轴的交点的横坐标，即：方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点。（3）零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在使得，这个也就是方程的根。函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有是函数在区间内至少有一个零点的一个充分不必要条件。【注】零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决。二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间，验证，给定精确度。第二步：求区间的中点。第三步：计算：①若=0，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点）③若，则令（此时零点）第四步：判断是否达到精确度即若，则得到零点值或，否则重复第二至第四步。三、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布根的分布(m＜n＜p为常数)图象满足条件x1＜x2＜mm＜x1＜x2x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1＜x2＜nm＜x1＜n＜x2＜p只有一根在(m，n)之间或f(m)·f(n)＜0【注】y＝ax2＋bx＋c(a<0)的零点分布请自己类比。应用举例:类型一、判断函数的零点的个数【例1】函数，，则函数的零点个数是（）A.2B.3C.4D.0【答案】A点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【例2】已知偶函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】由题意可得f(x)对称轴,x=0,所以周期为,由图可知,在上有两个根,其中一个为x=0,根据周期性可知,上各有一个零点,所有共7个零点.选B.【点睛】对于函数零点问题,我们一般先找到己知函数区间上的零点个数,再根据对称性和周期性求出其它区间上的零点数,特别要注意每段区间端点的零个数,需不重不漏.【例3】已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．2B．3C．4D．5【答案】A点评：判断函数零点个数的3种方法(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．类型二、函数的零点所在区间的判定【例4】函数的零点所在的区间（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，根据函数零点的判定定理，故选C．【例5】函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.【答案】2点评：确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法：(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)...
