2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系A级基础巩固一、选择题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.答案：D2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.答案：B3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：连接BD，B1D1，D1C知△D1B1C是等边三角形，所以D1B1与B1C所成角为60°，故B1C与EF所成角也是60°答案：C4．空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：由已知得∠PQR＝90°，又AC∥PQ，BD∥QR，所以异面直线AC与BD所成角即∠PQR.答案：A5．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()1A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形解析：如图所示，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．答案：D二、填空题6．在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．解析：以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．答案：87．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.则一定成立的是________(填序号)．解析：因为AB∥A′B′，AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°答案：③8．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE与AD所成的角即为AE与BC所成的角，即是∠EAD.连接DE，在Rt△ADE中，设AD＝a，则DE＝a，AE＝＝a，故cos∠EAD＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.答案：三、解答题9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．解：如图，连接BD，A1D.因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以DD1綊BB1，所以四边形DBB1D1为平行四边形，所以BD∥B1D1.2因为A1B，BD，A1D是全等的正方形的对角线，所以A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，所以∠A1BD＝60°.因为∠A1BD是锐角．所以∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，所以A1B与B1D1所在的角为60°.10．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．解：取BD的中点G，连接EG，FG，因为E，F分别为BC，AD的中点，所以EG綊CD，GF綊AB.所以EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角．因为AB＝CD，所以△EFG为等腰三角形．又AB与CD所成角为30°，所以∠EGF＝30°或150°.因为∠GFE就是EF与AB所成的角，所以EF与AB所成角为75°或15°.B级能力提升1．在三棱锥ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：如图所示，因为PQ綊AC，QR綊BD，所以∠PQR为异面直线AC与BD所成的角或其补角，PQ＝2.QR＝，PR＝3，有PQ2＋QR2＝PR2.由勾股定理，得∠PQR＝90°.答案：A2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.3以上结论中正确的序号为________．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③3．如图所示，E，F，G，H分别是三棱锥ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面．(2)m，n满足什么条件时，...
