2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．准线方程为y＝的抛物线的标准方程为()A．x2＝yB．x2＝－yC．y2＝－xD．y2＝x解析：由准线方程为y＝，知抛物线焦点在y轴负半轴上，且＝，则p＝.故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.答案：B2．已知抛物线y－2016x2＝0，则它的焦点坐标是()A．(504，0)B.C.D.解析：抛物线的标准方程为x2＝y，故其焦点为(0，)．答案：C3．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为()A．3B．6C.D.解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为.答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆过定点()A．(4，0)B．(2，0)C．(0，2)D．(0，4)解析：由题意易知直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点．答案：B5．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l()A．相交B．相切C．相离D．位置由F确定解析：根据抛物线的定义，|PF|等于点P到准线l的距离，即圆心P到直线l的距离等于半径|PF|，所以半径为|PF|的圆P与准线l相切．答案：B二、填空题6．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是________．解析：由抛物线的定义知点A，B到准线的距离之和是5，则AB的中点到准线的距离为，故AB中点的横坐标为x＝－＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________．解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋＝5，所以p＝8，即抛物线的标准方程是x2＝16y.答案：x2＝16y8．焦点为F的抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|＝p，则|FN|＝________．解析：由条件知|MF|＝|MN|＝p，MF⊥MN，在△MNF中，∠FMN＝90°，得|FN|＝p.答案：p三、解答题9．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左项点．解：(1)因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.故所求抛物线的方程为y2＝x或x2＝－y.(2)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3，0)．由题意，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，则＝－3，解得p＝6，故所求抛物线的标准方程为y2＝－12x.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为3＋＝6，解得a＝，抛物线方程为y＝x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－，点M到准线的距离为＝6，解得a＝－，抛物线方程为y＝－x2.答案：D2．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________(要求填写适合条件的序号)．解析：抛物线y2＝10x有焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④3．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为5，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y＝－x.解方程组可得点A的坐标为；解方程组可得点B的坐标为(8p，－4p)．因为|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5，所以＋(64p2＋16p2)＝325.所以p＝2，所以所求的抛物线方程为y2＝4x.
