4．1二次函数的图像课时跟踪检测一、选择题1．二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为()A．y＝x2＋2B．y＝2x2C．y＝x2D．y＝x2－2答案：B2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则点M(a，bc)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：抛物线开口向上知a>0，由对称轴－>0，得b<0，又ƒ(0)＝c<0，∴bc>0，∴M(a，bc)在第一象限．答案：A3．如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于()A．B．－C．±D．以上都不对解析：设ax2＋bx＋c＝0两根分别为x1，x2，则|OA|·|OB|＝－x1x2＝－.答案：B4．设abc>0，二次函数ƒ(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()解析：对于A，a<0，ƒ(0)＝c<0，对称轴x＝－<0，∴b<0，此时abc<0，矛盾；对于B，a<0，c>0，－>0，∴b>0，此时abc<0，矛盾；对于C，a>0，c<0，－<0，∴b>0，此时abc<0，矛盾．故当abc>0时，其图像不可能是A、B、C，故选D．答案：D5．已知f(x)＝2(x－1)2和g(x)＝(x－1)2，h(x)＝(x－1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔()A．g(x)B．f(x)C．h(x)D．不确定答案：A6．函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠0)的图像只可能是()解析：当a>0时，由A、B选项中二次函数图像可知－>0，b<0；由一次函数图像知b>0，与b<0矛盾，∴A、B选项均不正确；当a<0时，y＝ax2＋bx的图像与x轴的交点坐标分别为(0，0)，；y＝ax＋b与x轴交点坐标为，∴C不正确，D正确．答案：D二、填空题7．不论m取何值，二次函数y＝x2＋(2－m)x＋m的图像总经过的点是________．解析：令x＝1，则y＝1＋2－m＋m＝3与m无关．答案：(1，3)8．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为________．解析：由题意，得y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6.答案：y＝－2x2＋4x＋69．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________．解析：∵f(x1)＝f(x2)，∴f(x)图像关于x＝对称，又∵f(x)对称轴为x＝－，∴＝－，∴x1＋x2＝－，则f(x1＋x2)＝f＝a·＋b·＋c＝c.答案：c三、解答题10.已知函数ƒ(x)＝x|x－2|.(1)画出函数y＝ƒ(x)的图像；(2)写出ƒ(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数；(不必证明)(3)已知ƒ(x)＝，求x的值．解：(1)ƒ(x)＝x|x－2|＝作图如下：(2)单调递增区间(－∞，1]，[2，＋∞)，单调递减区间(1，2)．(3)∵ƒ(x)＝，∴当x≥2时，x2－2x＝，∴x＝1＋或x＝1－(舍去)，当x<2时，－x2＋2x＝，∴x＝1±，∴x的值为1±，1＋.11．已知二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)且f(x)＝0的两实根平方和为10，其图像过点(0，3)．求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x＋2)＝f(2－x)知，该函数图像关于直线x＝2对称，∴－＝2，即b＝－4a.①又∵图像过点(0，3)，∴c＝3.②∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－＝10，∴b2－2ac＝10a2.③由①②③解得a＝1，b＝－4，c＝3.∴f(x)＝x2－4x＋3.12．某类产品按质量可分为10个档次，生产最低档次的产品，每件利润6元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元，用同样的工时，最低档次每天生产60件，提高一个档次将少生产4件产品，问生产第几档次的产品，所获利润最大？解：设生产第x档次的产品利润为y，由题意得y＝[6＋2(x－1)][60－4(x－1)]＝(2x＋4)(64－4x)＝－8x2＋112x＋256＝－8(x－7)2＋648，x∈[1，10]，x∈N＋.当x＝7时，ymax＝648.故生产第7档次的产品，所获利润最大．13．已知二次函数f(x)的二次项系数为a＜0，方程f(x)＋2x＝0的两根是1和3，若f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式．解：设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，则f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，由Δ＝0，得5a2－4a－1＝0，解得a＝－或a＝1(舍)，∴f(x)＝－x2－x－.
