第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·广东深圳中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x260x卖出20x+10×250360x+7500退回10(x-250)0.88x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。 y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。故选C。2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x+40000≤10x,得x≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。4.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s2的加速度匀加速开走,那么()。A.人可在7s内追上汽车B.人可在10s内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5mD.人追不上汽车,其间距最少为7m答案：D解析：设汽车经过ts行驶的路程为sm,则s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7,故选D。5.(2019·河北冀州中学高一期中)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元。又知总收入K是单位产品数Q的函数,且K(Q)=40Q-120Q2,则总利润L(Q)的最大值是¿万元。答案：2500解析：L(Q)=40Q-120Q2-10Q-2000=-120Q2+30Q-2000=-120(Q-300)2+2500,当Q=300时,L(Q)取得最大值,最大值为2500万元。6.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产。已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=12n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害。为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_________年。答案：7解析：由题意知,第一年产量为a1=12×1×2×3=3;以后各年产量分别为an=f(n)-f(n-1)=12n(n+1)(2n+1)-12n·(n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*,n≥2)。令3n2≤150,得2≤n≤5❑√2,又n∈N*,得2≤n≤7,故生产期限最长为7年。7.(2019·山东烟台一中高一月考)如图3-4-1所示,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在函数y=kx-120(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。图3-4-1(1)求炮的最大射程。答案：令y=0,得kx-120(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件,知x>0,k>0,故x=20k1+k2=20k+1k=20(❑√k-1❑√k)2+2≤202=10,当且仅当k=1时取等号。所以炮的最大射程为10km。(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2km,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由。答案：因为a>0,所以炮弹可击中目标等价于存在k>0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立,即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根。所以Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6。所以当它的横坐标a不超过6km时,可击中目标。8.已知A,B两城市相距100km,两地之间距离A城市xkm的D处修建一垃圾处理厂来解决A,B两城市的生活垃圾和工业垃圾,且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10km。已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比,比例系数为0.25。若A城市每天...
