3.3幂函数一、选择题1．下列结论正确的是()A．幂函数图象一定过原点B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数解析：函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．答案：D2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为()A．－1,3B．－1,1C．1,3D．－1,1,3解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1,3.答案：C3．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是()解析：函数y＝x的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.答案：D4．函数y＝x在[－1,1]上是()A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数解析：由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．设f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．当x＝0时，y＝0，故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．答案：A二、填空题5．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－12.5α，则α的取值范围是________．解析：∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.答案：α<07．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)≤2的解集是________．解析：由表中数据知＝α，∴α＝，∴f(x)＝x，∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.答案：{x|－4≤x≤4}三、解答题8．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．解析：(1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－.此时m2－m－1≠0，故m＝－.(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.9．比较下列各题中两个值的大小；(1)2.3，2.4；(2)()，()；(3)(－0.31)，0.35.解析：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.3<2.4.(2)∵y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且<，∴()>().(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31)＝0.31.又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.31<0.35，即(－0.31)<0.35.[尖子生题库]10．已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．解析：∵幂函数f(x)经过点(2，)，∴＝2，即2＝2.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<.∴a的取值范围为.
