第2课时奇偶性的应用分层演练综合提升A级基础巩固1.如果偶函数在区间[a,b]上具有最大值,那么该函数在区间[-b,-a]上()A.有最大值B.有最小值C.没有最大值D.没有最小值答案:A2.下列函数中是奇函数且在区间(0,1)上递增的函数是()A.f(x)=x+1xB.f(x)=x2-1xC.f(x)=❑√1-x2D.f(x)=x3答案:D3.若f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是()A.{x|-33}B.{x|x<-3,或03}D.{x|-30,且|x1|>|x2|,则f(x1)与f(x2)的大小关系是f(x1)>f(x2).5.已知函数f(x)和g(x)满足f(x)=2g(x)+1,且g(x)为R上的奇函数,f(-1)=8,求f(1).解:因为f(-1)=2g(-1)+1=8,所以g(-1)=72.又因为g(x)为奇函数,所以g(-1)=-g(1),所以g(1)=-g(-1)=-72.所以f(1)=2g(1)+1=2×(-72)+1=-6.B级能力提升6.(2020年新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案:D7.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b是常数)是偶函数,值域为(-∞,4],则该函数的解析式为f(x)=-2x2+4.解析:由于f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(ab+2a)·x+2a2,所以f(-x)=bx2-(ab+2a)x+2a2,由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x).所以ab+2a=0,所以a=0或b=-2.又因为f(x)有最大值4,所以b=-2,且f(0)=2a2=4,所以f(x)=-2x2+4.8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b∈R,当a-b≠0时,都有f(a)+f(-b)a-b>0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.解:(1)因为a>b,所以a-b>0,因为f(a)+f(-b)a-b>0,所以f(a)+f(-b)>0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-b)=-f(b),所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).(2)由(1)知,f(x)为R上的增函数,因为f(1+m)+f(3-2m)≥0,所以f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥f(2m-3),所以1+m≥2m-3,解得m≤4.所以实数m的取值范围为(-∞,4].C级挑战创新9.开放题老师给出一个函数,请三位同学各说出了这个函数的一条性质:①此函数为偶函数;②定义域为{x∈R|x≠0};③在区间(0,+∞)上为增函数.老师评价说其中有一名同学的结论错误,另两名同学的结论正确.请你写出一个(或几个)这样的函数:y=x2或y={1-x,x>0,1+x,x<0或y=-2x(答案不唯一).解析:本题为开放型题目,答案不唯一,可结合条件来找.如:y=x2或y={1-x,x>0,1+x,x<0或y=-2x.10.多空题若函数f(x)={x2+2x,x≥0,g(x),x<0为奇函数,则g(x)=-x2+2x,f(g(-1))=-15.解析:当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=(-x)2-2x=x2-2x,所以f(x)=-x2+2x,即g(x)=-x2+2x,因此,f(g(-1))=f(-3)=-9-6=-15.
