第三章3.23.2.2A组·素养自测一、选择题1．下列说法正确的是(B)A．偶函数的图象一定与y轴相交B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点D．图象过原点的奇函数必是单调函数[解析]A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B．2．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(C)A．f(x)－f(－x)>0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0D．f(x)·f(－x)>0[解析] f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0，故选C．3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下面坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是(C)A．(a，－f(a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))D．(a，f(－a))[解析] y＝f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，∴(－a，－f(a))在y＝f(x)图象上．4．下列函数中既是奇函数又是偶函数的是(A)A．f(x)＝－B．f(x)＝＋C．f(x)＝D．f(x)＝[解析]选项A中定义域为{－1,1}，函数解析式为y＝0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函数，选项D为非奇非偶函数，故选A．5．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是(C)A．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．存在实数a，使f(x)是偶函数D．存在实数a，使f(x)是奇函数[解析]对于A，取a＝4.5，则f(1)＝5.5，f(1.5)＝1.52＋＝5.25，f(1)>f(1.5)，A错；对于B，取a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上为增函数，B错；对于C，取a＝0，则f(x)＝x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝f(x)＝x2，C对；对于D，假设存在实数a使f(x)为奇函数，则f(－1)＝－f(1)，又f(－1)＝1－a，f(1)＝1＋a，－f(1)＝－1－a，显然f(－1)≠－f(1)，即假设不成立，D错．6．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝(D)A．x2－|x|＋1B．－x2＋|x|＋1C．－x2－|x|－1D．－x2－|x|＋1[解析]若x<0，则－x>0，f(－x)＝x2＋|x|－1， f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋|x|－1，f(x)＝－x2－|x|＋1.二、填空题7．设f(x)为奇函数，且f(0)存在，则f(0)＝__0__.[解析]由奇函数定义，得f(－0)＝－f(0)．即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝__－5__.[解析]由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.9．若f(x)为偶函数，则f(＋1)－f＝__0__.[解析]因为f(x)为偶函数，所以f＝f[－(1＋)]＝f(1＋)，故f(＋1)－f＝0.三、解答题10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．[解析]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：f(x)＝x2－2，g(x)＝x.11．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．[解析] 当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2，且f(x)是奇函数，∴当x>0时，－x<0，则f(－x)＝x2－3x＋2.故当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝3x－x2－2.∴当x∈时，f(x)是增函数；当x∈时，f(x)是减函数．因此当x∈[1,3]时，f(x)max＝f＝，f(x)min＝f(3)＝－2.∴m＝，n＝－2，从而m－n＝.B组·素养提升一、选择题1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(C)A．－2B．－1C．1D．2[解析] y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函数是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.2．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上单调递减且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上(C)A．单调递增且最小值为－5B．单调递增且最大值为－5C．单调递减且最小值为－5D．单调递减且最大值为－5[解析]f(x)为奇函数，所以f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，所以f(7)＝－f(－7)＝－5.3．(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在(AC)A．[0,1]上单调递增B．[0,1]上先增后减C．[2,3]上单调递增D．[2,3]上先减后...
