第2课时函数的最大(小)值分层演练综合提升A级基础巩固1.下列函数在区间[1,4]上的最大值为3的是()A.y=1x+2B.y=3x-2C.y=x2D.y=1-x答案:A2.函数f(x)=|x+1|在区间[-2,2]上的最小值为()A.5B.2C.1D.0答案:D3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元答案:C4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是[1,2].5.已知函数f(x)=32x-1.(1)判断函数f(x)在区间(12,+∞)上的单调性;(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最值.解:(1)设x1,x2是区间(12,+∞)上的任意两个实数,且x2>x1>12,f(x1)-f(x2)=32x1-1-32x2-1=6(x2-x1)(2x1-1)(2x2-1).因为x2>x1>12,所以x2-x1>0,且(2x1-1)(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=32x-1在区间(12,+∞)上是减函数.(2)由(1)知,函数f(x)在[1,5]上是减函数,因此,函数f(x)=32x-1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值,即最大值为f(1)=3,最小值为f(5)=13.B级能力提升6.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b>0成立,且f(-3)=m,f(-1)=n,则f(x)在区间[-3,-1]上的最大值是n.解析:由f(a)-f(b)a-b>0,且a,b是任意的,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在区间[-3,-1]上的最大值是f(-1)=n.7.某厂借助网络平台,推出品牌为“土豆”的新产品,生产“土豆”的固定成本为20000元,每生产一件“土豆”需要增加投入100元,根据初步测算,总收益(单位:元)满足分段函数φ(x),其中φ(x)={400x-12x2,0400,x是“土豆”的月产量(单位:件),总收益=成本+利润.(1)试将利润y表示为月产量x的函数.(2)当月产量为多少件时利润最大?最大利润是多少?解:(1)依题意,知总成本为20000+100x,则y={-12x2+300x-20000,0400,且x∈N.(2)当0400时,y=60000-100x是减函数,因为x∈N,所以当x=401时,ymax=60000-100×401=19900,所以当月产量为300件时,利润最大,最大利润是25000元.8.已知函数f(x)=x2-x+a+1.(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的解析式.解:(1)由f(x)≥0对一切实数x恒成立,知x2-x+a+1≥0对x∈R恒成立,所以Δ=1-4(a+1)≤0,解得a≥-34,所以实数a的取值范围为[-34,+∞).(2)因为f(x)=x2-x+a+1=(x-12)2+a+34(x≤a),①当a<12时,g(a)=f(x)min=f(a)=a2+1;②当a≥12时,g(a)=f(x)min=f(12)=a+34.所以g(a)={a2+1,a<12,a+34,a≥12.C级挑战创新9.多空题若函数f(x)=4x-1,则x∈[3,5]的最大值为2,最小值为1.解析:f(x)=4x-1在区间[3,5]上为减函数,当x=3时,f(x)max=2,当x=5时,f(x)min=1.10.多空题函数y=g(x)=2x-❑√x+1的定义域为[-1,+∞),值域为[-178,+∞).解析:因为x+1≥0,所以x≥-1,所以函数的定义域为[-1,+∞).设❑√x+1=t(t≥0),则x+1=t2,即x=t2-1,所以y=2t2-t-2=2(t-14)2-178,t≥0,所以当t=14时,ymin=-178,所以函数g(x)的值域为[-178,+∞).
