幂函数(15分钟30分)1.下列结论正确的是()A.幂函数图象一定过原点B.当α<0时，幂函数y=xα是减函数C.当α>1时，幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-1在(-∞，0)及(0，+∞)上是减函数，故B不正确；函数y=x2在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故C不正确.2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点，则k+α等于()A.B.1C.D.2【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，所以k=1，f==，即α=-，所以k+α=.3.在下列四个图形中，y=的图象大致是()【解析】选D.函数y=的定义域为(0，+∞)，是减函数.4.幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是()A.[-1，+∞)B.[0，+∞)C.(-∞，+∞)D.(-∞，0)【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3，)，所以f(3)=3α==，解得α=，所以f(x)=，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内()A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值【解析】选C.因为幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.【补偿训练】已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_______.【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y=xα在(0，+∞)上为减函数，故α<0.答案：(-∞，0)6.已知幂函数f(x)=(-20，解得：-3(x1>x2>0)的函数的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】解决该题的关键是正确理解f>(x1>x2>0)的含义.【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f=；②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<；③在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<；④函数f(x)=的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f>；⑤在第一象限，函数f(x)=的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<.故仅有函数f(x)=满足当x1>x2>0时，f>.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是()A.y=B.y=C.y=D.y=【解析】选A、B、C.A中y==，定义域、值域都为R；B中y==定义域与值域都为(0，+∞)；C中y=的定义域、值域也为R；D中y==定义域为R，而值域为[0，+∞).三、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)中，令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，解得m=2或m=-1；当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=x-2，在(0，+∞)上单调递减，满足题意；当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，在(0，+∞)上单调递增，不满足题意；所以实数m=2.答案：26.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)的值为_______.【解析】因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数，且在(0，...
