函数奇偶性的概念(15分钟35分)1.函数f(x)=-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称【解析】选C.函数f(x)=-x是奇函数，其图象关于坐标原点对称.【补偿训练】函数f(x)=的图象关于()A.x轴对称B.原点对称C.y轴对称D.直线y=x对称【解析】选B.由题意知f(x)=的定义域为[-，0)∪(0，]，所以定义域关于原点对称，又因为f(-x)==-f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称.2.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是()【解析】选B.A，D不是函数；C是偶函数.3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)等于()A.-26B.-18C.-10D.10【解析】选A.令g(x)=x5+ax3+bx，则g(-x)=-g(x)，所以g(x)为奇函数.又因为f(x)=g(x)-8，所以f(-2)=g(-2)-8=10⇒g(-2)=18.所以g(2)=-18.所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.4.若f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数，且函数y=f(x)在x∈(0，+∞)上单调递增，则实数a的值为()A.±1B.-1C.1D.0【解析】选C.因为f(x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶函数，所以1-a2=0.所以a=±1.当a=1时，f(x)=x2-1，在(0，+∞)上单调递增，满足条件；当a=-1时，f(x)=-x2+1，在(0，+∞)上单调递减，不满足.5.已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+，则f(-1)=_______.【解析】当x>0时f(x)=x2+，所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数，所以f(-1)=-2.答案：-26.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=3，x∈R；(2)f(x)=5x4-4x2+7，x∈[-3，3]；(3)f(x)=【解析】(1)因为f(-x)=3=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.(2)因为x∈[-3，3]，f(-x)=5(-x)4-4(-x)2+7=5x4-4x2+7=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.(3)当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0，所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1，所以f(-x)=-f(x)；当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0，f(-x)=1-(-x)2=1-x2，所以f(-x)=-f(x)；当x=0时，f(0)=0.综上，对x∈R，总有f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)为R上的奇函数.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是()A.(a，-f(a))B.(-a，-f(a))C.(-a，-f(-a))D.(a，f(-a))【解析】选B.因为f(x)为奇函数，所以f(-a)=-f(a)，所以点(-a，-f(a))在函数y=f(x)的图象上.2.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=()A.3B.1C.-1D.-3【解析】选D.因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)=20+2×0+b=0，解得b=-1，所以当x≥0时，f(x)=2x+2x-1，所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.【补偿训练】已知函数f(x)=ax3+bx++5，满足f(-3)=2，则f(3)的值为_______.【解析】因为f(x)=ax3+bx++5，所以f(-x)=-ax3-bx-+5，即f(x)+f(-x)=10.所以f(-3)+f(3)=10，又f(-3)=2，所以f(3)=8.答案：83.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选C.因为f(x)-g(x)=x3+x2+1，所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，又由题意可知f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1，则f(1)+g(1)=1.【误区警示】分清f(x)，g(x)的奇偶性，解决此类问题时，很多学生常混淆f(x)，g(x)的奇偶性，导致解题错误或不会解决该题.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为()A.y=-xB.y=-x2C.y=D.y=-x|x|【解析】选A、D.A项，函数y=-x既是奇函数又是减函数；B项，y=-x2是偶函数，故B项错误；C项，函数y=是奇函数，但是y=在(-∞，0)或(0，+∞)上单调递减，在定义域上不具有单调性，故C项错误；D项，函数y=-x|x|可化为y=其图象如图：故y=-x|x|既是奇函数又是减函数，故D项正确.【光速解题】分别判断4个选择项的奇偶性，排除B，再判断A、C、D的单调性，排除C.三、填空题(每小题5分，共10分)5.设奇函数f(x)的定义域为[-6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为_______.【解析】由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3).又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[-6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3).综上可知不等式f(x)<0的解集为[-6，-3)∪(0，3).答案：[-6，-3)∪(0，3)【补偿训练】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+mx+1，若f(2)=3f(-1)，则m=_______.【解析】因为x>0时，f(x)=x2+mx+1，所以f(2)=5+2m，f(1)=2+m，又f(-1)=-f(1)=-2-m，所以5+2m=3(-2-m)，所以m=-.答案：-6.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+1，则f(-2)=_______，f(0)=_______.【解析】由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5，f(0)=0.答案：-50四、解答题(共10分)7.已知函数f(x)=是奇函数，且f(2)=.求实数m和n的值.【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即=-=.比较得n=-n，则n=0.又因为f(2)=，所以=，解得m=2，故实数m和n的值分别是2和0.
