函数的单调性(15分钟35分)1.函数f(x)=在R上()A.是减函数B.是增函数C.先减后增D.先增后减【解析】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.【补偿训练】函数f(x)=在()A.(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增B.(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减C.(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增D.(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减【解析】选C.f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1，因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.2.函数y=x2-6x+10在区间(2，4)上()A.单调递增B.单调递减C.先减后增D.先增后减【解析】选C.函数y=x2-6x+10图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.3.函数y=的单调减区间是()A.(-∞，1)，(1，+∞)B.(-∞，1)∪(1，+∞)C.{x∈R|x≠1}D.R【解析】选A.单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当.4.(2020·海淀高一检测)下列函数中，在区间(1，+∞)上单调递增的是()A.y=-3x-1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=|x-1|+2【解析】选D.由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上单调递减，故A错误；由反比例函数的性质可知，y=在区间(1，+∞)上单调递减，故B错误，由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增.5.(2020·淮安高一检测)已知函数f(x)=x|x-4|，则不等式f(2x)≤f(2)的解集为_______.【解析】因为f(x)=x|x-4|，所以由f(2x)≤f(2)得，2x|2x-4|≤4，所以x|x-2|≤1，所以或，解得x≤+1，所以f(2x)≤f(2)的解集为{x|x≤+1}.答案：{x|x≤+1}6.已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.【证明】∀x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，则f(x1)-f(x2)=-=，因为x1>x2>-2，所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，所以>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有()A.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)先增后减D.函数f(x)先减后增【解析】选A.由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.2.设函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则()A.f(a)>f(2a)B.f(a2)0，得a2+1>a，从而f(a2+1)f(3)>f(2)的只可能是()【解析】选D.因为f>f(3)>f(2)，所以函数y=f(x)有增有减，排除A，B.在C中，ff(0)，即f0，并且≤-1+3a，即a≥.综上所述，a的取值范围为.【误区警示】解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.下列四个函数中，在(-∞，0]上单调递减的是()A.f(x)=x2-2xB.f(x)=2x2C.f(x)=x+1D.f(x)=【解析】选AB.在A中，f(x)=x2-2x的减区间为(-∞，1]，故A正确；在B中，f(x)=2x2的减区间为(-∞，0]，故B正确；在C中，f(x)=x+1在R上是增函数，故C错误；在D中，f(x)=中，x≠0，故D错误.6.设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是()A.y=在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数【解析】选ABC.根据题意，依...
