3.2.2.2函数奇偶性的应用课堂检测·素养达标1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y=|x|(x∈R)B.y=(x≠0)C.y=-x2(x∈R)D.y=-x(x∈R)【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,y=|x|为偶函数,不符合题意;对于B,y=(x≠0),是奇函数但在其定义域上不是减函数,不符合题意;对于C,y=-x2是二次函数,为偶函数,不符合题意;对于D,y=-x是正比例函数,在其定义域内既是奇函数又是减函数,符合题意.2.奇函数y=f(x)的局部图象如图所示,则()A.f(2)>0>f(4)B.f(2)<0f(4)>0D.f(2)0>f(4).3.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则当x<0时,f(x)=________.【解析】因为f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),又x≥0时,f(x)=x(1+x),所以当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x(1-x)=-f(x),所以f(x)=x(1-x).答案:x(1-x)4.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________.【解析】设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数,由图象可知:当-40,g(x)<0,即h(x)<0,当00,即h(x)<0,所以h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).答案:(-4,-2)∪(0,2)【新情境·新思维】已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[3,5]B.[-1,1]C.[1,3]D.[-1,1]∪[3,5]【解析】选D.因为偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1,所以不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(|x-2|)≤f(3),所以1≤|x-2|≤3,得1≤x-2≤3或-3≤x-2≤-1,即3≤x≤5或-1≤x≤1,即x的取值范围是[-1,1]∪[3,5].
