第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第1课时函数的单调性课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)(2020福建厦门高一检测)如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中正确的是()A.f(x1)-f(x2)x1-x2>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)
f(x2)解析由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C,D不正确.故选AB.答案AB2.(多选题)下列各选项正确的是()A.若x1,x2∈I,当x1f(1)的实数x的取值范围是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(12,+∞)D.(-∞,12)解析由已知得2x<1,解得x<12.答案D4.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)1,即10,--(3a-1)2a≤1,所以00,Δy=y2-y1=(x2+9x2)−(x1+9x1)=(x2-x1)-9(x2-x1)x1x2=(x2-x1)(1-9x1x2).∵00,9x2x1>1,即1-9x2x1<0.∴Δy=y2-y1<0,∴函数y=x+9x在(0,3]上是减函数.能力提升练1.定义在R上的函数y=f(x)关于y轴对称,且在[0,+∞)内是增函数,则下列关系成立的是()A.f(3)0,(x1+2)(x2+2)>0.∴x2-x1(x1+2)(x2+2)>0.又∵f(x)在(-2,+∞)内为增函数,∴f(x2)-f(x1)>0,∴2a-1>0,即a>12.即实数a的取值范围是(12,+∞).答案(12,+∞)4.函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.(1)证明设x10,Δy=f(x2)-f(x1),由已知得f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,∴Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1.∵x10.∴f(x2-x1)>1.∴f(x2-x1)-1>0.∴Δy>0.∴f(x)是R上的增函数.(2)解令a=b=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴原不等式可化为f(3m2-m-2)0,x1+x2+2>0.∴(x2-x1)(x1+x2+2)>0.∴f(x2)>f(x1).∴函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是增函数.假设存在符合条件的区间[a,b],则有{f(a)=a,f(b)=b,即{a2+2a=a,b2+2b=b,解得{a=0,b=0或{a=0,b=-1或{a=-1,b=0或{a=-1,b=-1.又∵-1≤a
