第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第1课时函数的概念课后篇巩固提升基础达标练1.函数y=1❑√2x-1的定义域是()A.(-∞,12)B.(-∞,12]C.(12,+∞)D.[12,+∞)答案C2.(多选题)下列各组函数表示同一函数的是()A.y=x2-9x-3与y=x+3B.y=❑√x2-1与y=|x|-1C.y=x2+1与s=t2+1D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z解析对于A,函数y=x2-9x-3与y=x+3的定义域不同;对于B,函数y=❑√x2-1与y=|x|-1的定义域与对应法则相同;对于C,虽然自变量不同,但不改变意义,是同一函数;对于D,函数y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z的对应法则不同.综上可知选BC.答案BC3.若一系列函数的关系式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.函数关系式为y=2x2-1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有()A.10个B.9个C.8个D.4个答案B4.(2020山东潍坊高一月考)若全集U=R,函数y=❑√x-1的定义域为集合A,则∁UA=.解析∵y=❑√x-1,∴x-1≥0,即A={x|x≥1},∴∁UA={x|x<1}.答案{x|x<1}5.(2020成都高一月考)已知函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],则函数f(x)的定义域为.解析∵f(2x-1)的定义域为[-1,1],∴x∈[-1,1].令t=2x-1,∴-3≤t≤1.∴f(x)的定义域为[-3,1].答案[-3,1]6.函数y=1x2+x+1的值域为.解析∵x2+x+1=(x+12)2+34≥34,∴0<1x2+x+1≤43.∴值域为(0,43].答案(0,43]7.已知函数f(x)=❑√x+3+1x+2.(1)求函数的定义域;(2)求f(-3),f(23)的值;(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.解(1)使根式❑√x+3有意义的实数x的取值集合是{x|x≥-3},使分式1x+2有意义的实数x的取值集合是{x|x≠-2}.故这个函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞].(2)f(-3)=❑√-3+3+1-3+2=-1.f(23)=❑√23+3+123+2=❑√113+38=38+❑√333.(3)∵a>0,a-1>-1,∴f(a),f(a-1)有意义.∴f(a)=❑√a+3+1a+2,f(a-1)=❑√a-1+3+1(a-1)+2=❑√a+2+1a+1.能力提升练1.(2020江西新余高一月考)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f(2x-1)❑√x-1的定义域是()A.1,32B.1,32C.(1,3]D.[1,3]解析由0≤2x-1≤2得12≤x≤32,由x-1>0得x>1,故g(x)的定义域为1,32,故选A.答案A2.若函数f(x)=x2-4x-6的定义域为[0,m],值域为[-10,-6],则m的取值范围是()A.[0,4]B.[4,6]C.[2,6]D.[2,4]解析函数f(x)=x2-4x-6的图像开口向上,且以x=2为对称轴,∴f(0)=f(4)=-6,f(2)=-10.∵函数f(x)的定义域为[0,m],值域为[-10,-6],∴2≤m≤4,即m的取值范围是[2,4].答案D3.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3},其定义如下表:x123f(x)231x123g(x)132x123g(f(x))则第三个表格空白处的三个数依次为:,,.答案3214.求下列函数的值域:(1)y=3x+7x-2;(2)y=x2-1x2+1.解(1)y=3x+7x-2=3(x-2)+13x-2=3+13x-2,∵13x-2≠0,∴y≠3.∴函数的值域为{y|y∈R,且y≠3}.(2)y=x2+1-2x2+1=1-2x2+1,∵x2+1≥1,∴0<2x2+1≤2.∴-1≤1-2x2+1<1.∴函数的值域为[-1,1).素养培优练(2020江西上饶高一检测)已知函数f(x)=x2+2❑√2ax+3a+2.(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),求a的值;(2)若函数f(x)的函数值均为非负实数,求g(a)=2-a|a+3|的值域.解(1)∵函数值域为[0,+∞),∴(2❑√2a)2-4(3a+2)=0,解得a=-12或a=2.(2)∵对一切实数x,f(x)的函数值均为非负实数,∴(2❑√2a)2-4(3a+2)≤0,解得-12≤a≤2,∴a+3>0,∴g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-a+322+174-12≤a≤2.∵抛物线g(a)开口向下,对称轴为a=-32,∴g(2)≤g(a)≤g-12,即-8≤g(a)≤134.∴g(a)的值域为-8,134.
