课时作业20复数乘、除运算的三角表示及其几何意义时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．复数(sin10°＋icos10°)3的三角形式为(B)A．sin30°＋icos30°B．cos240°＋isin240°C．cos30°＋isin30°D．sin240°＋icos240°2．若z＝cosθ－isinθ，则使z2＝－1的θ值可能是(B)A．0B.C．πD．2π解析：∵z＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)，∴z2＝z·z＝cos(－2θ)＋isin(－2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1，∴∴θ＝.3．4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝(D)A．6＋6iB．6－6iC．－6＋6iD．－6－6i解析：4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos210°＋isin210°)＝12＝－6－6i.故选D.4．复数z1＝1，z2是由z1绕原点O逆时针方向旋转而得到，则arg()的值为(D)A.B.C.D.5．(多选)设z1、z2是复数，argz1＝α，argz2＝β，则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的(ABC)A．α＋βB．α＋β－2πC．2π－(α＋β)D．π＋α＋β解析：因为argz1＝α，argz2＝β，所以α∈[0,2π)，β∈[0,2π)，而arg(z1·z2)∈[0,2π)，则当α＋β∈[0,2π)时，arg(z1·z2)＝α＋β；当α＋β∈[2π，4π)时，α＋β－2π∈[0,2π)，则arg(z1·z2)＝α＋β－2π；当α＋β＝π时，2π－(α＋β)＝π＝α＋β，此时arg(z1·z2)＝α＋β＝2π－(α＋β)，故选ABC.6．复数z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，则n的最小值是(C)A．1B．3C．5D．7解析：因为z＝sin－icos＝cos＋isin，所以zn＝cosπ＋isinπ，＝cos－isin＝cos＋isin.因为zn＝，所以π＝＋2kπ，n＝，因为n∈N，k∈Z，所以当k＝4时，n＝5.二、填空题7．已知z＝2(cos80°＋isin80°)，则z3＝8(cos240°＋isin240°)，z3的代数形式为－4－4i.解析：z3＝3＝8；其代数形式为8＝－4－4i.8.÷3(cos120°－isin300°)＝－i.解析：÷3(cos120°－isin300°)＝(cos60°＋isin60°)÷3(cos120°＋isin120°)＝[cos(60°－120°)＋isin(60°－120°)]＝[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝(－i)＝－i.9．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是－－i，－i.解析：∵－i＝cos＋isin，其立方根是cos＋isin，k∈0,1,2，即i，－－i，－i.三、解答题10．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．解：因为z1＝2(cos＋isin)，设z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，所以z1z＝8[cos(2α＋)＋isin(2α＋)]．由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2(cos＋isin)＝－1＋i.11．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又argz2＝，所以z2＝(cos＋isin)，z1＝z2＝(1＋i)z2＝(cos＋isin)·(cos＋isin)＝2(cos＋isin)，所以z1的立方根为[cos＋isin]，k＝0,1,2，即(cos＋isin)，(cos＋isin)，(cos＋isin)．——能力提升类——12．设复数z1＝2sinθ＋icosθ(<θ<)在复平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋转后得到向量OZ2，OZ2对应复数z2＝r(cosφ＋isinφ)，则tanφ＝(A)A.B.C.D.13.＝(B)A.B.iC．－D．－i解析：＝＝＝i.14．(1－i)7＝64－64i.解析：(1－i)7＝7＝27＝128＝64－64i.15．已知复数z1＝－2＋i对应的点为P1，z2＝－3＋4i对应的点为P2，把向量P1P2绕P1点按顺时针方向旋转后，得到向量P1P，求向量P1P和点P对应的复数分别是什么？解：由题意知向量P1P2对应的复数是z2－z1＝(－3＋4i)－(－2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法的几何意义得，向量P1P对应的复数是(－1＋3i)·＝3＋i，最后由复数加法的几何意义得，向量OP＝OP1＋P1P，其对应的复数是(－2＋i)＋(3＋i)＝1＋2i，故点P对应的复数为1＋2i.
