【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质学业分层测评5直角三角形的射影定理新人教A版选修4-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是()A．3∶2B．9∶4C.∶D.∶【解析】如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5，∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.∴＝＝，即AC∶BC＝∶，故选C.【答案】C2.如图149所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是()图149A．6B．3C．18D．3【解析】由题意知∴AD2＝18，∴AD＝3.【答案】B3．一个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边上的高为2.4cm，则这个直角三角形的面积为()【导学号：07370021】A．7.2cm2B．6cm2C．12cm2D．24cm2【解析】长为3cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为＝5(cm)，∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．【答案】B4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于()A.B.C.D.【解析】如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，∴＝＝2，即＝，∴＝.【答案】C5．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是()【导学号：07370022】A.B.C.D．2【解析】如图，由射影定理得CD2＝AD·BD.又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.【答案】C二、填空题6．如图1410，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________．图1410【解析】∵OF＝a，∴AD＝2a.∵AE⊥BD，∴AD2＝DE·BD.∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD，∴AD2＝BD·BD，∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a.【答案】4a7．如图1411，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝______cm.图1411【解析】连接CD，则CD⊥AB.由AC＝3cm，BC＝4cm，得AB＝5cm.由射影定理得BC2＝BD·BA，即42＝5BD.所以BD＝cm.【答案】8．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为________．【解析】如图，过C点作CE⊥AB于E.在Rt△ACB中，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝8cm，∴BE＝6.4cm，AE＝3.6cm，∴CE＝＝4.8(cm)，∴AD＝4.8cm.又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝3.6cm.∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．【答案】32.64cm2三、解答题9．已知直角三角形周长为48cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【解】(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为20cm,12cm,16cm.(2)作CF⊥AB于F，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝＝＝(cm)．同理BF＝＝＝(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为cm，cm.10．如图1412所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，点F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.图1412【证明】∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.[能力提升]1．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为()A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1【解析】设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.【答案】C2．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5cm，BC＝2cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2cm，则DE＝()A．1.24cmB．1.26cmC．1.28cmD．1.3cm【解析】如图，∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽Rt△ABC，∴＝，DE＝＝＝1.28.【答案】C3．如图1413所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝__________.图1413【解析】由射影定理得，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝，即BC2＝.又∵CD2＝AD·BD，∴BD＝.∴BC2＝＝＝64.∴BC＝8.【答案】84．如图1414，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求证：GD2＝FG·GH.图1414【证明】∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，∴△BCE∽△BHG，∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG.①∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，∴△FCG∽△BHG，∴＝，∴BG·CG＝GH·FG.②由①②得，GD2＝GH·FG.
