第1课时函数的单调性【基础练习】1.下列说法中,正确的有()①若任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则y=f(x)在I上是增函数;②函数y=x2在R上是增函数;③函数y=-在定义域上是增函数;④函数y=的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】当x1<x2时,x1-x2<0,由>0知f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),①正确;②③④均不正确.2.函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的增区间是()A.[-2,0]B.[0,1]C.[-2,1]D.[-1,1]【答案】C【解析】由函数图象易知选C.3.下列函数中,在区间(0,1)内是增函数的是()A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x2+4【答案】A【解析】(排除法)函数y=3-x在R上为减函数,函数y=在(0,+∞)上是减函数,函数y=-x2+4在[0,+∞)上是减函数.4.若f(x)为R上的增函数,kf(x)为R上的减函数,则实数k的取值范围是()A.k为任意实数B.k>0C.k<0D.k≤0【答案】C【解析】由函数单调性的定义,设x1,x2是任意实数,x1<x2,则f(x1)<f(x2),且kf(x2)<kf(x1),得出f(x1)-f(x2)<0,k[f(x1)-f(x2)]>0,则k<0.5.函数y=x|x-1|的单调递增区间是________.【答案】,[1,+∞)【解析】画出函数y=x|x-1|=的图象,如图,可得函数的增区间为,[1,+∞).6.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,2]时是减函数,则f(1)的值为________.【答案】-3【解析】f(x)=22+3-,由题意=2,∴m=8.∴f(1)=2×12-8×1+3=-3.7.求证:函数f(x)=--1在区间(-∞,0)上是增函数.【证明】设x1,x2为区间(-∞,0)上的任意两个值,且x10.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)f(0)=3-3a;当x≥0时,函数f(x)=-x2+a为二次函数,也为减函数,且有f(x)≤f(0)=a.要使函数f(x)在R上为减函数,则有a≤3-3a,解得a≤.【能力提升】9.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是()A.a>-B.a≥-C.-≤a<0D.-≤a≤0【答案】D【解析】当a=0时,f(x)=2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的;当a>0时,由函数f(x)=ax2+2x-3的图象知,不可能在区间(-∞,4)上是单调递增;当a<0时,只有-≥4,即a≥-满足函数f(x)在区间(-∞,4)上是单调递增的.综上可知实数a的取值范围是-≤a≤0.10.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,若a,b∈R且a+b>0,则有()A.f(a)+f(b)>-f(a)-f(b)B.f(a)+f(b)<-f(a)-f(b)C.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)D.f(a)+f(b)0,∴a>-b,b>-a,∵f(x)在R上是增函数,∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),∴f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).11.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数,那么实数a的取值范围是________.【答案】【解析】要使f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,必须同时满足3个条件:g(x)=(3a-1)x+4a在(-∞,1)上为减函数;h(x)=-x+1在[1,+∞)上为减函数;g(1)≥h(1).∴∴≤a<.12.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,满足条件:①f(xy)=f(x)+f(y);②f(2)=1;③在(0,+∞)上是增函数.如果f(2)+f(x-3)≤2,求实数x的取值范围.【解析】∵f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2),又f(2)=1,∴f(4)=2.∵f(2)+f(x-3)=f[2(x-3)]=f(2x-6),∴f(2)+f(x-3)≤2可化为f(2x-6)≤2=f(4),即f(2x-6)≤f(4).∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴解得3