高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时 余弦定理练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP免费

1.1第2课时余弦定理A级基础巩固一、选择题1．(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4解析：由余弦定理得13＝9＋AC2＋3AC⇒AC＝1，选A.答案：A2．在△ABC中，已知acosA＋bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：由acosA＋bcosB＝ccosC，得a·＋b·＝c·，化简得a4－2a2b2＋b4＝c4，即(a2－b2)2＝c4.所以a2－b2＝c2或a2－b2＝－c2.故△ABC是直角三角形．答案：B3．在△ABC中，有下列结论：①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①cosA＝＜0，所以A为钝角，正确；②cosA＝＝－，所以A＝120°，错误；③cosC＝＞0，所以C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶∶2，错误．答案：A4．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A.B.C．－D．－解析：设BC边上的高线为AD，则BC＝3AD，所以AC＝＝AD，AB＝AD.由余弦定理，知cosA＝＝＝－，故选C.答案：C5．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：因为2cosBsinA＝sinC，所以2×·a＝c，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形．答案：C二、填空题6．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则∠A＝________．解析：由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)得b2＋c2－a2＝－bc，所以cosA＝－，A＝120°.答案：120°7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．解析：由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变化求解即可．由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.又b＝c＝a，所以c＝a，即a＝2c.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－.答案：－8．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x，5x(x＞0)，则cos60°＝，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积S＝×16×10×sin60°＝40.答案：40三、解答题9．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数．解：因为sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，由正弦定理得：b2－c2－a2＝ac，由余弦定理得：cosB＝＝－，又0°＜B＜180°，所以B＝150°.10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1(1)求角C的度数；(2)求AB的长．解：(1)因为cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，所以所以AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，所以AB＝.B级能力提升1．在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解析：因为sin2＝＝，所以cosA＝＝，所以a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．答案：B2．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．解析：因为cosC＝＝，所以sinC＝.所以AD＝AC·sinC＝.答案：3．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解：在△ABD中，由余弦定理有：AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB.设BD＝x，有142＝102＋x2－2×10xcos60°，x2－10x－96＝0.所以x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16，在△BCD中，由正弦定理＝，可得：BC＝·sin30°＝8.