第二课时平面与平面垂直1.设直线m,n,平面α,β,则下列命题正确的是(B)(A)若m⊥n,mα,nβ,⊂⊂则α⊥β(B)若m∥n,n⊥β,mα,⊂则α⊥β(C)若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β(D)若m⊥n,α∩β=m,nα,⊂则α⊥β解析:B中,因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β,又因为mα,⊂故α⊥β.2.在三棱锥ABCD中,如果AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么(C)(A)平面ABD⊥平面ADC(B)平面ABD⊥平面ABC(C)平面BCD⊥平面ADC(D)平面ABC⊥平面BCD解析:因为AD⊥BC,BD⊥AD,且BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD,所以平面BCD⊥平面ADC.故选C.3.如图所示,在立体图形DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(C)(A)平面ABC⊥平面ABD(B)平面ABD⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE(D)平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE解析:因为AB=BC,E为AC中点,所以BE⊥AC,同理可证:DE⊥AC.因为DE∩BE=E,所以AC⊥平面BDE,又AC⊂平面ACD,AC⊂平面ABC.所以平面ACD⊥平面BDE,平面ABC⊥平面BDE,故选C.4.在空间中,l,m,n是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列结论不正确的是(D)(A)若α∥β,α∥γ,则β∥γ(B)若l∥α,l∥β,α∩β=m,则l∥m(C)若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=l,则l⊥α(D)若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,l⊥m,l⊥n,则m⊥n解析:根据平面平行的传递性可知选项A中的结论正确;如果一条直线平行于两个相交平面,那么该直线平行于它们的交线,可知选项B中的结论正确;如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,可知选项C中的结论正确.故选D.5.已知两条直线a,b与两个平面α,β,b⊥α,则下列命题中正确的是①若a∥α,则a⊥b;②若a⊥b,则a∥α;③若b⊥β,则α∥β;④若α⊥β,则b∥β.(A)(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③解析:对于①,a∥α,在α内存在a′∥a,又b⊥α,所以b⊥a′,所以b⊥a,正确;对于②,a还可以在α内,所以②错;对于③,b⊥β,b⊥α,所以α∥β,正确;对于④,bβ⊂或b∥β,故错误.故选A.6.如图,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,则平面PBD与平面PAC的关系是.解析:因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥AP.又ABCD为正方形,所以BD⊥AC,又AC∩AP=A,所以BD⊥平面PAC,而BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.答案:垂直7.若三棱锥三个侧面两两垂直,则顶点在底面上的射影是底面三角形的(D)(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心解析:三棱锥三个侧面两两垂直,则三条侧棱也两两垂直,可证侧棱与对底棱垂直,从而侧棱在底面上的射影与侧棱的对底棱垂直,故顶点在底面上的射影为三角形的垂心.8.如图,若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直,则cosα∶cosβ=.解析:由题意,两个矩形的对角线长分别为5,2,所以cosα==,cosβ=,所以cosα∶cosβ=∶2.答案:∶29.如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下面四个结论:①三棱锥AD1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确结论的序号是.(写出所有你认为正确结论的序号)解析:连接AC,A1C1,A1B,AD1,D1C.因为AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1.又因为AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1,又因为AC⊂平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,且AC∩AD1=A,所以平面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P⊂平面A1BC1,所以A1P∥平面ACD1,故②正确.因为BC1∥AD1,所以BC1∥平面ACD1,所以点P到平面ACD1的距离不变.又因为=,所以三棱锥AD1PC的体积不变,故①正确.连接DB,DC1,DP.因为DB=DC1,所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1,故③错误.因为BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D,又因为B1D⊂平面BB1D1D,所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC⊂平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,AC∩AD1=A,所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,故④正确.答案:①②④10.(2017·山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由...
