课时作业20复数的三角表示式知识点一复数的三角表示1.下列复数中已用三角形式表示的是()A．2(cosα－isinα)B．2(sinα＋icosα)C．－2(cosα＋isinα)D．2[cos(－α)＋isin(－α)]答案D解析复数的三角形式为z＝r(cosα＋isinα)，其满足的条件为：①r≥0.②加号连接．③cosα在前，sinα在后．④α前后一致，可取任意值．A不满足②，不正确；B不满足③，不正确；C不满足①，不正确．故选D．2．复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是()A．3B．3C．3D．3答案C解析由复数的三角形式：z＝r(cosθ＋isinθ)得，z＝－3＝3＝3.故选C．知识点二复数的辐角与复数的模3.复数z＝sinθ－icosθ的辐角主值是()A．θ－B．π－θC．2π－θD．θ＋答案A解析复数z＝sinθ－icosθ＝sin(π－θ)＋icos(π－θ)＝cos＋isin＝cos＋isin，由<θ<π，得0<θ－<，故此复数的辐角主值为θ－.故选A．4．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为()A．2cosB．－2cosC．2sinD．－2sin答案B解析解法一：复数z＝1＋cosα＋isinα＝1＋＋i·2sincos＝2cos， π<α<2π，∴<<π，cos<0，∴|z|＝＝2＝－2cos.∴z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为－2cos.解法二： |z|＝＝＝＝＝， π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，∴|z|＝－2cos.故选B．5．当2π<θ<3π时，求复数z＝1－cosθ＋isinθ的模与辐角主值．解z＝1－cosθ＋isinθ＝2sin2＋i·2sincos＝2sin. 2π<θ<3π，∴π<<，∴sin<0.从而z＝－2sin＝－2sin π<<，∴0<－<.故|z|＝－2sin，argz＝－.知识点三复数相等6.若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________.答案kπ－(k∈Z)解析解法一：根据两个复数相等的充要条件，得cosθ＝－sinθ，即tanθ＝－1，所以θ＝kπ－(k∈Z)．解法二：设z1＝cosθ－isinθ，z2＝－sinθ＋icosθ，则z1＝cos(－θ)＋isin(－θ)，z2＝cos＋isin， z1＝z2，则＋θ＝－θ＋2kπ，k∈Z，故θ＝kπ－(k∈Z)．知识点四复数的三角表示与向量7.已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB对应的复数是z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．解(1) 点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)，∴AB＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．∴AB对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，∴sinθ＝±.又 θ∈(0，π)，∴sinθ＝，∴θ＝或.一、选择题1．复数z＝的辐角主值是()A．B．C．D．答案D解析z＝＝－i＝所以辐角主值是.故选D．2．2i的三角形式是()A．2(cos0＋isin0)B．C．2D．2(cosπ＋isinπ)答案C解析 2i的模为r＝|2i|＝2,2i的辐角主值为，∴2i的三角形式是2.故选C．3．若复数z＝r(cosθ＋isinθ)(r>0，θ∈R)，则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r称为z的模，θ为z的辐角，若复数z的模为2，其辐角为，则＝()A．＋iB．－iC．1－iD．1＋i答案A解析由已知可得z＝2＝－1＋i，所以＝＝＝＋i.故选A．4．下列复数用三角形式表示的是()A．3(sin40°＋isin40°)B．3(cos40°－isin40°)C．－3(cos40°＋isin40°)D．3(cos40°＋isin40°)答案D解析复数的三角形式表示为z＝r(cosθ＋isinθ)，参考四个选项，只有D满足．故选D．5．复数1－5i和－3－2i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于()A．B．C．D．答案C解析 arg(1－5i)＝α，又1－5i对应点Z1(1，－5)在第四象限，∴<α<2π. arg(－3－2i)＝β，－3－2i对应点Z2(－3，－2)在第三象限，∴π<β<.则<α＋β<，即<α＋β<.故选C．二、填空题6．复数2的代数形式为________．答案－＋i解析2＝2＝－＋i.7．复数z＝log1＋|1＋i|i的三角形式是________．答案解析 |1＋i|＝＝，∴z＝log1＋|1＋i|i＝i. z在复平面对应点的坐标为(0，)，∴z的辐角主值为，∴z的三角形式是.8．已知复数z1＝1＋i，则复数z＝的辐角主值为________．答案解析将z1＝1＋i代入式中化简整理：z＝＝＝1－i...
