课时作业21复数乘、除运算的三角表示及其几何意义知识点一复数三角形式乘法运算的三角表示及其几何意义1．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是()A．2B．－2iC．－3iD．3＋i答案B解析 由题意知复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，∴旋转后的向量为(3－i)＝(3－i)＝－2i.故选B．2．已知z1＝，z2＝cos＋isin，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释．解z1z2＝＝cos＋isin＝cos＋isin＝0＋i×1＝i.首先作与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转，再保持某长度不变，这样得到一个长度为，辐角为的向量OZ，OZ即为积z1z2＝i所对应的向量．3．把复数z1与z2所对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量OM，且模相等．已知z2＝－1－i，求复数z1的代数式和它的辐角主值．解在复平面上B(－1，－)，向量OB逆时针旋转得到向量OM，|OB|＝2＝|OM|，依题意OM顺时针旋转后模不变，得到向量OA，则|OA|＝2.若z1＝a＋bi(a，b∈R)，则a＝2cos＝－，b＝2sin＝，∴z1＝－＋i.argz1＝.知识点二复数三角形式除法运算的三角表示及其几何意义4．设z＝r(cosθ＋isinθ)．求的三角表示．解因为＝，|z|＝r，z＝r(cosθ－isinθ)，故＝(cosθ－isinθ)＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]．5．已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝7，求.解设z1，z2在复平面内分别对应点A，B．在△AOB中，|OA|＝|z1|＝3，|OB|＝|z2|＝5，|AB|＝|z1－z2|＝7.∴cos∠AOB＝＝－，即arg＝或arg＝，又＝，∴＝＝－＋i或＝＝－－i.知识点三复数三角形式的综合应用6.已知复数z＝－i，ω＝＋i，复数，z2ω3在复平面上所对应的点分别为P，Q，证明：△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)．证明 z＝－i＝cos＋isin∴z3＝－i.又ω＝＋i＝cos＋isin，∴ω4＝－1.从而＝·＝＝i.故＝1，即|OP|＝|OQ|且OP与OQ的夹角为.∴△OPQ是等腰直角三角形．7．设复数z1＝cosθ＋isinθ，z2＝z1i＋1，z1，z2分别对应复平面上的点A，B，O为坐标原点，∠AOB＝α(0≤α<π)．求角α的大小．解 z1＝cosθ＋isinθ，z2＝z1i＋1＝1－sinθ＋icosθ，∴kOA＝＝tanθ，kOB＝，∴tanα＝＝＝＝＝tan，①当0≤θ＜时，0<－≤，∴α＝－.②当<θ<π时，－<－<0， 0≤α＜π，∴α＝－＋π＝－.一、选择题1．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是()A．＋iB．＋iC．＋iD．＋i答案B解析复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量为(1＋i)＝(1＋i)·＝＋i，故选B．2．计算3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝()A．3iB．3i＋2C．6iD．6i＋3答案C解析3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝6(cos90°＋isin90°)＝6i.3．设模为2，辐角为的复数z是z3＋a＝0的根，那么a是()A．2iB．－2iC．8iD．－8i答案D解析由题意，得z＝2，则有a＝－z3＝－23＝－8i.4．计算4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝()A．＋iB．－＋iC．2＋iD．－2＋i答案B解析4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝2(cos150°＋isin150°)＝2＝－＋i.5．化简：＝()A．cos10θ＋isin10θB．sin10θ＋icos10θC．sin3θ＋icos3θD．cos3θ＋isin3θ答案A解析＝＝＝＝＝cos10θ＋isin10θ.二、填空题6．已知z1＝(1－i)，z2＝sin－icos，则z1z2＝________，＝________.答案－i－i解析因为z1＝cos＋isin，z2＝cos＋isin，所以z1z2＝cos＋isin＝－i，＝cos＋isin＝－i.7．将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是－2i，则θ角的最小正值是________．答案解析 z＝1＋i＝2，∴将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数为z1＝2(cosθ＋isinθ)＝2＝－2i，∴θ＋＝，∴θ＝.8．观察下列各式：①cos＋isin＝＋i；②2＝－＋i；③3＝－1；④4＝－－i；…根据以上规律可得26＝________.答案－＋i解析解法一：根据规律，可猜n＝cos＋isin，将n＝26代入，可得26＝cos＋isin＝－＋i.解法二：26＝8·2＝－＋i.三、解答题9．z1＝(cos20°＋isin20°)，z2＝(cos50°＋isin50°)，z3＝(cos80°＋isin80°)，计算：(1...
