章末综合测评(三)数学归纳法与贝努利不等式(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设S(n)＝＋＋＋…＋，则()A.S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋B.S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋C.S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋D.S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋【解析】S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋.【答案】D2.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A.3n－2B.n2C.3n－1D.4n－3【解析】计算知a1＝1，a2＝4,a3＝9，a4＝16，∴可猜想an＝n2.【答案】B3.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋成立，则a，b，c的值为()A.a＝，b＝c＝B.a＝b＝c＝C.a＝0，b＝c＝D.不存在这样的a，b，c【解析】 等式对任意n∈N＋都成立，∴当n＝1,2,3时也成立.即解得【答案】A4.下列代数式，n∈N＋，能被13整除的是()A.n3＋5nB.34n＋1＋52n＋1C.62n－1＋1D.42n＋1＋3n＋2【解析】当n＝1时，n3＋5n＝6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋1＝7,42n＋1＋3n＋2＝91.只有91能被13整除.【答案】D5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A.k2B.(k＋1)2C.D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.【答案】D6.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()A.56·3(4k＋1)＋25(34k＋1＋52k＋1)B.34·34k＋1＋52·52kC.34k＋1＋52k＋1D.25(34k＋1＋52k＋1)【解析】34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1变形中必须出现n＝k时归纳假设，故变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1).【答案】A7.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式()A.1＋<2－B.1＋＋<2－C.1＋<2－D.1＋＋<2－【解析】 n≥2，第一步应是n＝2时，1＋<2－.【答案】A8.设n∈N＋，则4n与3n的大小关系是()A.4n>3nB.4n＝3nC.4n<3nD.不确定【解析】4n＝(1＋3)n.根据贝努利不等式，有(1＋3)n≥1＋n×3＝1＋3n>3n，即4n>3n.【答案】A9.若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为()A.2f(k)B.k－1＋f(k)C.f(k)＋kD.f(k)＋2【解析】由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n＝k＋1时增加的对角线的条数一样，设底面为A1A2…Ak，n＝k＋1时底面为A1A2A3…AkAk＋1，增加的对角线为A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有k－1条，因此，对角面也增加了k－1个.【答案】B10.用数学归纳法证明＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(α≠kπ，k∈Z，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是()A.B.＋cosαC.＋cosα＋cos3αD.＋cosα＋cos2α＋cos3α【解析】首项为，末项为cos(2×1－1)α＝cosα.【答案】B11.如果命题P(n)对于n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是()A.P(n)对所有自然数n成立B.P(n)对所有偶自然数n成立C.P(n)对所有正自然数n成立D.P(n)对所有比1大的自然数n成立【解析】因为n＝2时，由n＝k＋2的“递推”关系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次类推，因此，命题P(n)对所有的偶自然数n成立.【答案】B12.在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()【导学号：38000065】A.B.C.D.【解析】 a1＝，由Sn＝n(2n－1)an得，a1＋a2＝2(2×2－1)a2，解得a2＝＝，a1＋a2＋a3＝3×(2×3－1)a3，解得a3＝＝，a1＋a2＋a3＋a4＝4(2×4－1)a4，解得a4＝＝.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上)13.从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出：1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝________.【解析】等式的左边符号正负间隔出现，先正后负，所以最后一项系数应为(－...
