第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式学业分层测评新人教B版选修4-5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为()A.1B.2C.D.4【解析】∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤.【答案】C2.若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为()A.3B.1C.D.【解析】∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥3.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，∴的最小值为.【答案】D3.已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是()【导学号：38000033】A.B.C.D.【解析】2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝，当且仅当x·＝y·，即x＝，y＝时等号成立，∴2x2＋3y2的最小值为.【答案】B4.若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为()A.1B.－1C.2D.－2【解析】∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)，≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，故a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2.因此a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为2.【答案】C5.已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围为()A.(0,1)B.(－1,1)C.(0，－1)D.[－1,1]【解析】设α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z).∵|α|＝＝1，|β|＝＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t|≤1.∴t的取值范围是[－1,1].【答案】D二、填空题6.(湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________.【解析】∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6，∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号.【答案】127.若a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________.【解析】由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，当且仅当向量a与b共线时“＝”成立，∴5×16≥(x－2z)2，∴－4≤x－2z≤4，即－4≤a·b≤4.故a·b的最大值为4.【答案】48.已知a＋b＝1，则a2＋b2＝________.【解析】由柯西不等式得(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，当且仅当＝时，上式取等号，∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.【答案】1三、解答题9.已知θ为锐角，a，b均为正数.求证：(a＋b)2≤＋.【证明】设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则|a＋b|＝＝|m·n|≤|m||n|＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.10.在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.【解】如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×).由柯西不等式得l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R＝4R.当且仅当＝，即x＝R时等号成立.此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.[能力提升]1.函数y＝＋的最小值是()A.B.2C.11＋2D.＋1【解析】y＝＋.根据柯西不等式，得y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)(3－x)＋]＝[(x－1)＋(3－x)]2＋2＋5＋2＝11＋2，当且仅当＝，即x＝时等号成立.此时，ymin＝＝＋1.【答案】D2.已知a，b，c均大于0，A＝，B＝，则A，B的大小关系是()A.A＞BB.A≥BC.A＜BD.A≤B【解析】∵(12＋12＋12)·(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.又a，b，c均大于0，∴a＋b＋c＞0，∴≥.【答案】B3.设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.【导学号：38000034】【解析】由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，当且仅当＝＝＝k时取“＝”.由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝，所以＝k＝.【答案】4.已知a1，a2，…，an都是正数，且a1＋a2＋…＋an＝1.求证：＋＋…＋＋≥.【证明】根据柯西不等式得左边＝＋＋…＋＋＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＋(an＋a1)]×＋＋＋…＋＋×＝[()2＋()2＋…＋()2＋()2]×＋＋…＋＋×≥×＋＋…＋×＋×2×＝(a1＋a2＋…＋an)2×＝＝右边.∴原不等式成立.
