2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离[学业水平训练]1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为________．解析：由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3,1,5)．答案：(－3,1,5)2．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为________．解析：由题意知，点Q就是点P在平面xOy上的射影，所以横坐标、纵坐标不变，竖坐标为0，故点Q的坐标为(1，，0)答案：(1，，0)3．点M(4，－3,5)到原点的距离d1＝________，到z轴的距离d2＝________.解析：利用两点间距离公式可得d1＝＝5.过M作MN⊥平面xOy于N，则N(4，－3,0)，故d2＝ON＝＝5.答案：554．设球心C(0，－1,0)，球面经过一点M(－1,3,1)，则球的半径为________．解析：r＝CM＝＝3.答案：35．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB＝2，则实数x的值是________．解析：∵AB＝＝＝2，∴x＝6或－2.答案：6或－26．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．解析：分别以x轴、y轴、z轴上的单位长度为正方体的相邻的棱作正方体，则点P在正方体与O相对的顶点上，所以OP＝.答案：7．已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为a，侧棱长为l，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解：设正四棱锥底面中心点为O，∵OA⊥OB，点P在平面ABCD上的射影为O，∴以O为坐标原点，以直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则OA＝a，PA＝PB＝PC＝PD＝l，∴PO＝＝.故各顶点坐标依次为A(a,0,0)．B(0，a,0)，C(－a,0,0)，D(0，－a,0)，P(0,0,)．8.三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，AB＝BC＝2，又PA＝PB＝PC＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中：(1)求点A，B，C，P的坐标；(2)求AB，PC的中点之间的距离．解：(1)取AC的中点O，连结OB，OP.∵△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝2.∴AC＝4，OB＝2.∵PA＝PB＝PC，∴点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O.故PO⊥平面ABC.∵PA＝3，∴PO＝＝＝.以O为坐标原点OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0,0，)．A(0，－2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．(2)AB的中点坐标为(1，－1,0)，PC的中点坐标为(0,1，)．这两个中点之间的距离为d＝＝.[高考水平训练]1．已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．解析：点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．答案：(2，－3,1)2．对于任意实数x、y、z，则＋的最小值为________．解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)则＋＝PO＋PM，由于x、y、z是任意实数，即点P是空间任意一点，则PO＋PM≥OM＝＝，则所求的最小值为.答案：3.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．(1)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究PQ的最小值；(2)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值．解：设正方体的棱长为a，连结OA，在平面AOB内，作PH⊥OA于H.∵OB⊥平面xOy，∴PH⊥平面xOy.设P(x，x，z)，则＝，∴z＝a－x.故P(x，x，a－x)．(1)由题意知Q(0，a，)，P(x，x，a－x)，PQ＝＝＝.故当x＝，即P为AB中点时，PQmin＝.(2)由题意知P(x，x，a－x)，设Q(0，a，t)．则PQ＝＝.故当即时，PQmin＝.此时，P、Q分别为AB，CD的中点．4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．解：如图，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．∵N为CD1的中点，∴N.M是A1C1的三等分点且靠近点A1，∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN|＝＝.
