第2章圆柱、圆锥与圆锥曲线学业分层测评新人教B版选修4-1(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内，则它在α内的正射影是()A.平行四边形B.梯形C.一条线段D.一条线段或梯形【解析】当梯形所在的平面平行于投影线时，梯形在α上的正射影是一条线段.当梯形所在的平面与投影线不平行时，梯形在α上的正射影是一个梯形.【答案】D2.如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是()A.内心的平行射影还是内心B.重心的平行射影还是重心C.垂心的平行射影还是垂心D.外心的平行射影还是外心【解析】三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形状通常会发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，射影前后相对的位置关系不变.【答案】A3.圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】由已知α＝＝25°，β＝30°，∴β>α.故截线是椭圆，故选B.【答案】B4.设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】Dandelin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b＝2c.∴e＝＝＝＝.【答案】B二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为________.【导学号：61650026】【解析】∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角α＝45°；又截面与轴线的夹角β＝30°，即β<α，∴截线是双曲线，其离心率e＝＝＝＝.【答案】6.一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为________.【解析】由2a＝6，得a＝3，又e＝cos45°＝，∴c＝e·a＝×3＝.∴b＝＝＝.∴圆柱面内切球的半径r＝.【答案】三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图217，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，画出空间四边形AEFG在该正方体的面DCC1D1上的正投影.图217【解】如图(1)，点A落在D点上，点G落在CC1的中点G′上，点F在面DCC1D1上的正射影仍为点F，点E落在DD1的中点E′上，擦去命名点，其图形如图(2)所示.8.已知点A(1，2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P，使|PA|＋2|PF|最小.【解】如图所示，∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2.∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为＝.设P到右准线的距离为d，则|PF|＝d，d＝2|PF|.∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小.把y＝2代入＋＝1，得x＝(x＝－舍去).即点P(，2)为所求.[能力提升]9.在空间中，取直线l为轴.直线l′与l相交于O点，夹角为α.l′绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面.任取平面π，若它与轴l的交角为β.试用Dandelin双球证明：当β＝α时，平面π与圆锥的交线为抛物线.【证明】如图：设Dandelin球与圆锥面的交线为圆S.记圆所在的平面为π′，π与π′的交线为m.在平面π与圆锥面的交线上任取一点P，设平面π与Dandelin球的切点为F，连PF.在平面π中过P作m的垂线，垂足为A，过P作π′的垂线，垂足为B，连AB，则AB为PA在平面π′上的射影.显然，m⊥AB，故∠PAB是平面π与平面π′所成的二面角的平面角.在Rt△APB中，∠APB＝β.则PB＝PA·cosβ①又设过点P的母线交圆S于点Q，则PQ＝PF.在Rt△PBQ中，PB＝PQ·cosα∴PB＝PF·cosα②由①，②得＝×＝.因为α＝β，所以＝1.即曲线任一点P到定点F的距离恒等于P到定直线m的距离.故点P的轨迹为抛物线.
