高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例探究案讲练互动 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP专享VIP免费

1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例[A基础达标]1.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点间的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m解析：选A.由正弦定理得＝.又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，故AB＝＝＝50(m)．2．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A测得AC＝60m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为()A．20mB．30mC．20mD．30m解析：选B.由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30m，故选B.3．如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析：选A.由题目条件，知AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝45°.由正弦定理，得＝，所以BC＝10海里，故选A.4．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是()A．5海里/时B．5海里/时C．10海里/时D．10海里/时解析：选D.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5海里，于是这艘船的速度是10海里/时．故选D.5.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出四种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a；④测量a，b，B.则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④解析：选A.对于①，在△ABC中，B＝π－(A＋C)，所以sinB＝sin(A＋C)．由正弦定理得＝，所以c＝.对于②，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c＝.对于③，在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．由正弦定理得＝，所以c＝.对于④，由余弦定理cosB＝解得的c可能有两个值．故能确定A，B间距离的所有方案的序号为①②③.6.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为________m.解析：由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得＝，即AB＝＝＝4(m)．答案：47.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3mm，BC＝2mm，AB＝mm，则∠ACB＝________．解析：在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝－.因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.答案：8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________m.解析：设水柱的高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50m.答案：509．如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得C，D相距21km，求D，A之间的距离．解：由已知，得CD＝21km，BC＝31km，BD＝20km.在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝－.设∠ADC＝α，则cosα＝，sinα＝.在△ACD中，由正弦定理＝，得＝，所以AD＝sin(60°＋α)＝＝15(km)，即所求的距离为15km.10．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266m，计算气球的高度．解：如图，设CD＝x，在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，所以AC＝CD＝x.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CB＝＝x...