1.2.3弦切角定理(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1246所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝()图1246A.B.C.D.【解析】由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.∵sin∠ABC＝＝＝＝，故选D.【答案】D2.如图1247所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()图1247A.2B.3C.2D.4【解析】连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴＝，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝2，故选C.【答案】C3.如图1248，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于()图1248A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】如图，连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°，连接BC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.【答案】B4.如图1249所示，已知AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是()图1249A.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50°【解析】当点P在优弧BC上时，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.当P点在劣弧BC上时，∠BPC＝115°.故选C.【答案】C二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1250，BC为⊙O直径，DE切⊙O于A点，BD⊥DE于D，若∠ABD＝50°，则劣弧AC所对圆心角的度数为________.图1250【解析】∵BD⊥DE，∠ABD＝50°，∴∠BAD＝40°.∵AD为⊙O的切线，∴∠C＝40°，又∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠CBA＝50°，∴AC所对圆心角的度数为100°.【答案】100°6.(广东高考)如图1251，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.图1251【解析】由弦切角定理得∠PAB＝∠ACB，又因为∠BAC＝∠APB，所以△PAB∽△ACB，可得＝，将PB＝7，BC＝5代入得AB＝.【答案】三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图1252所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT、AT于C、D.图1252求证：△CTD为等腰三角形.【导学号：61650016】【证明】∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形.8.如图1253，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF.图1253(1)求证：EF∥BC；(2)求证：DF2＝AF·BE.【证明】(1)∵⊙O切BC于D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF，∴EF∥BC.(2)如图，连接DE，∵⊙O切BC于D，∴∠BAD＝∠BDE，由(1)可得∠BDE＝∠FAD，又∵⊙O内接四边形AEDF，∴∠BED＝∠DFA，∴△BED∽△DFA，∴＝.又∵∠BAD＝∠CAD，∴DE＝DF，∴DF2＝AF·BE.[能力提升]9.如图1254，△ABC内接于圆O，AB＝AC，直线MN切圆O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E.图1254(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.【解】(1)证明：由已知得∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠EDC，又∵BD∥MN，∴∠DCN＝∠EDC，∴∠BAE＝∠DCN.又直线MN切圆O于点C，∴∠CAD＝∠DCN.∴∠CAD＝∠BAE.又AB＝AC，∴△ABE≌△ACD.(2)由于△ABE≌△ACD，则BE＝CD，由(1)得∠CAD＝∠BAE，∴BC＝CD.∴BE＝CD＝4.在△ABE和△CDE中，∠BAE＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，∴△ABE∽△DCE.∴＝.∴＝.∴＝，解得AE＝.
