第六讲圆一、知识归纳1、证明四点共圆的方法有：（1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上（2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆（3）线段同旁张角相等，则四点共圆。（4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆（5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆（6）四边形ABCD对角线相交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若，则它的四个顶点共圆。2、圆幂定理二、例题讲解例1：如图，设AB为圆的直径，过点A在AB的同侧作弦AP、AQ交B处的切线于R、S，求证：P、Q、S、R同点共圆。例2：圆内接四边形ABCD，O为AB上一点，以O为圆心的半圆与BC，CD，DA相切，求证：AD＋BC＝AB例3：如图，设A为⊙O外一点，AB，AC和⊙O分别切于B，C两点，APQ为⊙O的一条割线，过点B作BR//AQ交⊙O于点R，连结CR交AO于点M，试证：A，B，C，O，M五点共圆。1ADCOEBABQSRP例4：如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C两点，D为PC中点，且AD延长线交⊙O于点E，又,求证：（1）PA＝PD；（2）.例5：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE长为2，CD＝1，求DE的长度。三、课堂练习1、如图，已知点P在⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A，B两点，并交ST于点C，求证：2、如图，A是⊙O外一点，AB、AC和⊙O分别切于点B、C，APQ为⊙O的一条割线，过B作BR//AQ交⊙O于R，连CR交AQ于M。试证：A，B，C，O，M五点共圆。2APBDOECACDPOHEBSBDPOACTABGPCOMR3、设⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，M是⊙O1、⊙O2的切点，R、S分别是⊙O1、⊙O2与⊙O3的切点，连心线交⊙O1于P，⊙O2于Q，求证：P、Q、R、S四点共圆。3PRQSO1O3O2第六讲圆例题讲解答案例1：证明：连PQ、QB内四边形ABQP内接于圆∴∠QBA＝∠RPQ又∵SB为切线，AB为直径∴∠ABS＝∠AQB＝90°，故∠QBA＝∠QSB∴∠RPQ＝∠QSB∴P、Q、S、R四点共圆例2：解：在AB上截取BE＝BC，连结OC，OD，DE，CE。∴∠BEC＝（180°－∠B）∵ABCD内接于圆，∴180°－∠B＝∠ADC∴∠BEC＝∠ADC又DA，DC为半圆切线，∴∠ADC＝∠ADO＝∠ODC∴∠BEC＝∠ODC，即C、E、O、D四点共圆。∴∠AED＝∠OCD＝∠BCD＝（180°－∠A），∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝180°－∠A－（180°－∠A）＝（180°－∠A）∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC。例3：解答：连接OB,OC,BC，则OB⊥AB,OC⊥AC,∴A，B，O，C四点共圆，∵BR//AQ，∵∠GBR=∠BAQ,而∠GBR=∠BCR,∴∠BAQ=∠BCR,即∠BAM=∠BCM,∴A,B,M，C四点共圆，但A，B，C三点确定一个圆，∴A，B，C，O，M五点共圆。例4：解：（1）连接AB4ADCOEBABGPCOMQABQSRP∵∵∵∠E＝∠F∴△BDE∽△ABE，∴∠DBE＝∠BAD∵PA切⊙O于点A，∴∠E＝∠PAB∴∠DBE+∠E＝∠BAD+∠PAB∴∠PAD＝∠BDA，PD＝PA（2）∵PA切⊙O于点A，∴∵D为PC中点，∴PC＝2PD，∵PD＝PA，∴,∴DP＝2PB，∴B为PD中点，DC＝2BD，∴例5：解答：连PO交AB于H，设DE＝x，则，在Rt△APH中，∴①在Rt△PHD中，②由相交弦定理，知而∴③由①②③可知，，∴DE＝课堂练习答案：略5APBDOECACDPOHEB
