2.7直线与平面、平面与平面垂直的性质练习1.室内有一根直尺,无论怎么样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线().A.异面B.相交C.平行D.垂直【答案】D2.若平面α、β互相垂直,则().A.α中的任意一条直线都垂直于βB.α中有且只有一条直线垂直于βC.平行于α的直线垂直于βD.α内垂直于交线的直线必垂直于β【答案】D3.已知AH⊥Rt△HEF所在的平面,且HE⊥EF,连接AE、AF,则图中直角三角形的个数是.【解析】易知△AHE,△AHF,△HEF为直角三角形,又因为EF⊥HE,EF⊥AH,所以EF⊥平面AEH,所以EF⊥AE,即△AEF也是直角三角形.综上所述,图中直角三角形个数为4.【答案】414.如图,S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.求证:AB⊥BC.【解析】∵SA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴BC⊥SA.过A作AE⊥SB,垂足为E,由于AE⊂平面SAB,平面SAB⊥平面SBC,∴AE⊥平面SBC.又∵BC⊂平面SBC,∴BC⊥AE,又AE∩SA=A,∴BC⊥面SAB,又∵AB⊂面SAB,∴BC⊥AB.5.下列说法正确的是().①一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面互相平行;②两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面互相平行;2③两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面互相平行;④两个平面同时平行于某一个平面,则这两个平面互相平行.A.①②B.②③C.②③④D.②④【答案】D6.已知平面α与β,且α∩β=l,α⊥β,P∈α,点P不在直线l,则下列说法中错误的是().A.过点P且垂直于α的直线平行于βB.过点P且垂直于l的平面垂直于βC.过点P且垂直于β的直线在α内D.过点P且垂直于l的直线在α内【解析】过点P且垂直于l的直线可能在α内,也可能不在α内.如右图所示.过点P作直线a交l于点A.过点A作直线b⊥l,且a⊂α,b⊂β,则由α⊥β,容易证明,l⊥BP,但BP不在平面α内.【答案】D7.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是.【解析】∵BD1⊥平面AB1C,∴当P在B1C上时,总有AP⊥BD1,故点P的轨迹是线段B1C.3【答案】线段B1C8.三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直,求证:顶点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心.【解析】如图,由三个侧面两两互相垂直易知AP⊥平面PBC,从而AP⊥BC.又PO⊥底面ABC,所以PO⊥BC.因为PO与AP相交于P点,所以BC⊥平面PAD,即BC⊥AD.同理可知CO⊥AB,BO⊥AC.所以O点是三角形ABC的垂心.9.在空间四边形ABCD中,△ABD、△CBD都是边长为1的正三角形,且平面ABD⊥平面CBD.E、F、G、H为空间四边形AB、AD、CD、BC边上的中点,则四边形EFGH的面积是.【解析】易知四边形EFGH为矩形,EF=HG=,HE=FG=·=,∴SEFGH=×=.【答案】10.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.4(1)证明:C1C⊥BD;(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD,然后证明这个结论.【解析】(1)连接A1C1、AC,AC与BD交于点O,连接C1O.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,BC=CD.又因为∠C1CB=∠C1CD,C1C为公共边,所以△C1BC≌△C1DC,所以C1B=C1D.因为DO=OB,所以C1O⊥BD.又AC⊥BD,AC∩C1O=O,又C1C⊂平面AC1,所以C1C⊥BD.(2)当=1时,能使A1C⊥平面C1BD.证明如下:由(1)可知BD⊥A1C.当=1时,四棱柱的六个面全都是菱形,同BD⊥A1C的证法类似可以证得BC1⊥A1C,又因为BD∩BC1=B,所以A1C⊥平面C1BD.5
