§2.4函数与方程2．4.1函数的零点课时目标1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即________，则α叫做这个函数的______．2．二次函数零点的个数：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，有(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有________零点；(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根(重根)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有____________零点或者说有______零点；(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c没有零点．3．二次函数零点的性质：(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时，__________________.(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)任意函数，只要它的图象是不间断的，上述性质同样成立．一、选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是()A．0个B．1个C．2个D．无法确定2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝03．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，－B．0，C．0,2D．2，－4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1003个，则f(x)的零点的个数为()A．1003B．1004C．2006D．20075．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为()A．1B．2C．0D．不能确定6．函数f(x)＝3ax－2a＋1在[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是()A．a≥B．a≤1C．－1≤a≤D．a≥或a≤－1题号123456答案二、填空题7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和等于______．8．已知一次函数f(x)＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．9．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.三、解答题10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．111．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．能力提升12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则()A．b∈(－∞，0)B．b∈(0,1)C．b∈(1,2)D．b∈(2，＋∞)13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．21．方程的根与方程所对应函数的零点的关系(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．§2.4函数与方程2．4.1函数的零点知识梳理1．f(α)＝0零点2.(1)两个不相等两个(2)两个相等一个二重的二阶3.(1)函数值符号改变作业设计1．C[方程ax2＋bx＋c＝0中， ac<0，∴a≠0，∴Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．]2．C[对于选项A，可能存在根；对于选项B，必存在但不一定唯一；选项D显然不成立．]3．A[ a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，＝－.令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]4．D[因为f(x)是奇函数，则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零...
