2.3.2向量数量积的运算律课后导练基础达标1.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·（a-3b）=-72，则向量a的模为（）A.2B.4C.6D.12解析:∵（a+2b）·（a-3b）=-72，即|a|2-a·b-6|b|2=-72,∴|a|2-a·b-6|b|2+72=0,|a|2-|a||b|cos60°-24=0.∴|a|2-2|a|-24=0.解得|a|=6或|a|=-4（舍），故|a|=6.答案:C2.下列命题正确的是()A.|a·b|=|a||b|B.a·b≠0|a|+|b|≠0C.a·b=0|a||b|=0D.(a+b)·c=a·c+b·c解析:A选项|a·b|=|a||b||cosθ|,而cosθ不一定为零.B选项|a|+|b|≠0时,a与b的夹角可能等于90°.C选项与B类似.故D正确.答案:D3.在四边形ABCD中,·=0,=,则四边形ABCD为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由=,可知四边形ABCD为平行四边形,又·=0,∴⊥.∴四边形ABCD为矩形.答案:C4.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(a-kb),则实数k的值为()A.±B.±C.±D.±解析:(a+kb)·(a-kb)=|a|2-k2|b|2=0得9=k2×16,∴k2=.∴k=±.答案:A5.若a2=1,b2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:∵|a|2=1,|b|2=2,∴|a|=1,|b|=.∴(a-b)·a=|a|2-a·b=1-|a||b|cos〈a,b〉=0.∴cos〈a,b〉=.∴a与b的夹角为45°.答案:B6.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i·j=0,|i|=|j|=1,则a·b=___________.解析:由解得∴a·b=(-3i+4j)·(5i-12j)=-15|i|2-48|j|2-56i·j=-63-56×0=-63.答案:-637.若|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=__________.解析:由|a+b|=24得|a+b|2=242.得132+192+2a·b=242.∴|a-b|2=132+192-2a·b=2×132+2×192-242=484.∴|a-b|=22.答案:22综合运用8.已知|a|=10，|b|=12且（3a）·（b）=-36,求a与b的夹角.解:由已知，得|a||b|cosα=-36,∴cosα=-.∵0°≤α≤180°,∴α=120°.9.△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，求·的值.解:∵=-，∴2=2-2·+2，即||2=||2-2·+||2.∴·==19.10.已知a、b、c为非零向量，且b-a-c与a-b-c的模相等，a+b+c与a+b-c的模相等.试证明a与c互相垂直.证明:由|b-a-c|=|a-b-c|，两边平方,得（b-a-c）2=（a-b-c）2，即(b-a-c）2-（a-b-c）2=0.∴（b-a-c+a-b-c）·（b-a-c-a+b+c)=0，-2c·（2b-2a）=0，即c·b-c·a=0.①同理，由|a+b+c|=|a+b-c|，得c·b+c·a=0.②由①②,可得c·a=0,故a⊥c.拓展探究11.已知|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60°,则当k为何值时,向量ka-b与a+2b垂直?解:∵(ka-b)⊥(a+2b),∴(ka-b)·(a+2b)=0,ka2+(2k-1)a·b-2b2=0.k×52+(2k-1)×5×4×cos60°-2×42=0,∴k=,即k为时,向量ka-b与向量a+2b垂直.12.已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.解:∵|a|=|a-b|,∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.又|a|=|b|,∴a·b=|a|2.又|a+b|=|a|,设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=.又θ∈［0,π］,∴θ=,即a与a+b的夹角为.
