向量数量积的运算律1．以下等式中恒成立的有()①|a·b|＝|a||b|；②(a·b)2＝a2·b2；③|a|＝；④a2－2b2＝(a－b)·(a＋b)．A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，那么(a－4b)2等于()A．B．2C．6D．123．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k的值为()A．B．C．D．4．已知a，b是非零向量，满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是()A．B．C．D．5．已知非零向量与满足且，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形6．已知a·b＝，|a|＝4，则b在a方向上的射影的数量为__________．7．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，其中i·j＝0，|i|＝|j|＝1，则a·b＝__________.8．设O，A，B，C为平面上的四个点，＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，a·b＝b·c＝c·a＝－1，则|a|＋|b|＋|c|＝__________.9．已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．10．设a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，k，t是两个不同时为零的实数．(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求出函数k＝f(t)的最小值．参考答案1．解析：对于①，|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，仅当θ＝0°或180°时或b＝0或a＝0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的数量积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确．答案：B2．答案：D3．解析：(a＋kb)·(a－kb)＝|a|2－k2|b|2＝0，所以9＝k2×16，所以k2＝.所以k＝.答案：A4．解析：设所求夹角为θ，则由(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，得a·(a－2b)＝0，b·(b－2a)＝0.∴a2＝2a·b，b2＝2a·b.∴2|a||b|cosθ＝|a|2＝|b|2.∴cosθ＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.答案：B5．解析：由可知，∠BAC的平分线与边BC垂直．又cos∠BAC＝，所以∠BAC＝.所以△ABC为等边三角形．答案：D6．解析：∵|a||b|cos〈a，b〉＝，又∵|a|＝4，∴|b|cos〈a，b〉＝.答案：7．解析：由解得∴a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－15|i|2－48|j|2＋56i·j＝－63＋56×0＝－63.答案：－638．解析：∵a·(a＋b＋c)＝a·0＝0，∴a·a＋a·b＋a·c＝0.又∵a·b＝b·c＝c·a＝－1，∴a·a－1－1＝0，∴|a|＝.同理|b|＝|c|＝，∴|a|＋|b|＋|c|＝.答案：9．解：∵|a|＝|a－b|，∴|a|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.又∵|a|＝|b|，∴a·b＝|a|2.又|a＋b|＝，设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝.又∵θ∈[0，π]，∴，即a与a＋b的夹角为.10．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t2－3t＝0，∴k＝(t2－3t)(t≠0)，即k＝f(t)＝(t2－3t)(t≠0)．(2)由(1)知k＝f(t)＝(t2－3t)＝，故函数k＝f(t)的最小值为.
