2.3.1向量数量积的物理背景与定义课后导练基础达标1.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于（）A.B.C.D.4解析:|a+3b|2=（a+3b）2=a2+6a·b+9b2=|a|2+6×|a||b|cos60°+9|b|2=13,∴|a+3b|=.答案:C2.已知a、b是非零向量且满足（a-2b）⊥a，（b-2a）⊥b，则a与b的夹角是（）A.B.C.πD.π解析:由已知a·（a-2b）=0，b·（b-2a）=0，得a2=2a·b，b2=2a·b.∴2|a||b|cosθ=|a|2且|a|2=|b|2.∴cosθ=.∴θ=.答案:B3.在△ABC中，若=a，=b，=c且a·b=b·c=c·a，则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.A、B、C均不正确解析:由已知，得|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB，于是|a|cosC=|c|cosA，，∴sinAcosC-cosAsinC=0.∴sin（A-C）=0.∴A=C.同理,可得B=C，∴A=B=C.故选C.答案:C注:公式sin(A-C)=sinAcosC-cosAsinC在第三章讲.4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a=3,b=1,c=3,则·等于（）A.B.C.-D.答案:C5.已知|a|=a，|b|=b，向量a与b夹角为θ，则|a-b|等于（）A.B.C.D.解析:|a-b|=答案:C6.已知ABCD，=a，=b，且|a|=|b|,则与位置关系为_________.解析:ABCD为菱形.答案:垂直7.若O为△ABC所在平面内一点且满足（-）·（+-2）=0，则△ABC的形状为_______.答案:等腰三角形8.若向量a、b、c满足a+b+c=0且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a·b+b·c+c·a=______________.答案:-13综合运用9.(2006福建高考,9)已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|=,则|b|等于()A.5B.4C.3D.1解析:∵|a+b|=,∴(a+b)2=13,即a2+2a·b+b2=13,即|a|2+2|a||b|cos〈a,b〉+|b|2=13,将|a|=3,〈a,b〉=120°,代入得|b|2-3|b|-4=0,解得|b|=4,∴选B.答案:B10.下列各命题，其中真命题的个数为()①若a=0，则对任何一个向量b，有a·b=0②若a≠0,则对任何一个非零向量b，有a·b≠0③若a≠0,a·b=0，则b=0④若a·b=0，则a·b中至少有一个为0⑤若a≠0,a·b=a·c，则b=c⑥若a·b=a·c，则b=c，当且仅当a=0时成立⑦a、b反向a·b=-|a||b|A.1B.2C.3D.4解析:①⑦是真命题.对于②，当a⊥b时有a·b=0.对于③,当a⊥b时，有a·b=0，但b≠0.对于④，两个非零向量a·b，当它们垂直时，有a·b=0.对于⑤，由a·b=a·c，得a·（b-c）=0，当（b-c）⊥a且b-c≠0时也满足条件，但b≠c.⑥的错因与⑤类似.答案:B11.已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,|=,则·+·+·的值等于_______.解析:由已知可得△ABC满足|AB|=2,|AC|=,|BC|=1,故∠C=,∠A=,∠B=,故·=0.·+·+·=·(+)=·=-||2=-4.答案:-4拓展探究12.如图，正方形OABC两边AB、BC的中点分别为D和E，求∠DOE的余弦值.解:=+=+，=+=+，∴·=（+）·（+）=·+（·+·）+·.∵⊥，⊥，∴·=0，·=0.∵=，=，∴·=2=||2，·=2=||2=||2.又||2=||2+||2=||2+||2=||2，∴cos∠DOE=.
