高一数学直线与圆人教实验版（B）知识精讲VIP专享VIP免费

高一数学直线与圆人教实验版（B）【本讲教育信息】一、教学内容：直线与圆二、学习目标掌握圆的定义，会求圆的方程，掌握简单的直线与圆的关系，通过练习掌握基本知识，并能综合运用所学知识正确解题三、知识要点1、若圆（x－a）2+（y－b）2=r2，那么点（x0，y0）在2、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：（1）代数法（判别式法）（2）几何法，圆心到直线的距离一般宜用几何法。3、弦长与切线方程，切线长的求法（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则（2）改写圆方程写出圆的切线方程：（x0，y0）为切点的圆的切线方程，分别以x0x，y0y，改写圆方程中的x2，y2，x，y切线长4、圆与圆的位置关系5、圆系方程（1）以（a，b）为圆心的圆系方程：。（2）过两圆和的交点的圆系方程：但不含C2当时，为两圆公共弦所在直线方程用心爱心专心其中当两圆相切时，l为过两圆公共切点所在直线的方程。【典型例题】例1、已知圆x2+y2+x－6y+m=0与直线x+2y－3=0相交于P，Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值。解法一：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由OPOQ，得:kOPkOQ=－1即=－1即x1x2+y1y2=0①另一方面（x1，y1），（x2，y2）是方程组的实数解，即x1，x2是5x2+10x+4m－27=0②的两个实数根，∴x1+x2=－2，x1x2=③又P，Q在直线x+2y－3=0上，∴y1y2=（3－x1）（3－x2）=[9－3（x1+x2）+x1x2]④将③代入得y1y2=⑤将③⑤代入④①知：m=3.代入方程②检验＞０成立.∴m=3解法二：将3=x+2y代入圆的方程知：x2+y2+（x+2y）（x－6y）+（x+2y）2=0，整理得：（12+m）x2+4（m－3）xy+（4m－27）y2=0由于x≠0可得（4m－27）（）2+4（m－3）+12+m=0，①∴kOP，kOQ是①方程的两根，由kOPkOQ=－1知:=－1，解得：m=3.检验知m=3为所求.例2、已知与曲线C：x2+y2－2x－2y+1=0相切的直线L交x轴、y轴于A、B两点，O为原点，且|OA|=a，|OB|=b（a>2，b>2）（1）求证曲线C与直线L相切的条件是（a－2）（b－2）=2（2）求线段AB中点的轨迹方程（3）求ΔAOB面积的最小值.解：依题意得，直线L的方程为+=1即bx+ay－ab=0，圆C的方程为（x－1）2+（y－1）2=1（1） 直线与圆相切，∴=1，化简:（a－2）（b－2）=2①（2）设AB的中点坐标为（x，y），则a=2x，b=2y，代入①得（2x－2）（2y－2）=2，即（x－1）（y－1）=（x>1，y>1）为所求线段AB中点的轨迹方程。（3）由（a－2）（b－2）=2，得ab=2a+2b－2∴SΔAOB=|ab|=a+b－1=（a－2）+（b－2）+3≥2+3=2+3，当且仅当a=b=2+时，面积有最小值：2+3.用心爱心专心例3、过圆x2+y2=r2（r>0）外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为M、N，证明直线MN的方程是x0x+y0y=r2证法一：设M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.M、N在已知圆x2+y2=r2上，过M、N的切线方程分别是x1x+y1y=r2，x2x+y2y=r2又P是两切线的公共点，即有x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2上面两式表明M（x1，y1），N（x2，y2）两点都在二元一次方程x0x+y0y=r2表示的直线上，所以直线MN的方程是x0x+y0y=r2.证法二：以OP为直径的圆的方程为（x－x0）2+（y－y0）2=（x02+y02）即x2+y2－x0x－y0y=0又圆的方程是x2+y2=r2，两式相减得x0x+y0y=r2.这便是过切点MN的直线方程。【思维点拨】（1）体现了曲线与方程的关系；（2）两圆相减得公共弦直线方程例4、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解：设MN切圆C于N，则|MN|2=|MO|2－|ON|2，设点M（x，y），则，化简，得（λ2－1）（x2+y2）－4λ2x+（1+4λ2）=01）当λ=1时，方程为，表示一条直线。2）当λ≠1时，方程化为表示一个圆。例5、已知两点，且点使成公差小于的等差数列，点的轨迹是什么曲线？解：设，则，，由题设得，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，在轴右侧的部分.本讲涉及的主要数学思想方法1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定。用心爱心专心2.弦长计算问题要用直角三角形。3.直线系，圆系的应用。【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1...