高一数学用样本估计总体北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：用样本估计总体二、学习目标1、正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。2、能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。3、会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。4、形成对数据处理过程进行初步评价的意识。5、在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。6、会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识与现实世界的联系。三、知识要点1、数据的两个特征：集中趋势和波动性。集中趋势指的是数据的“一般水平”或曰“平均水平”，波动性指的是数据围绕“平均值”的变化情况。2、反映数据“大多数水平”（集中趋势）的量——众数众数：即样本数据中频数最大（或频率最高）的数据。特点：①可以不存在或不止一个；②不受极端数据的影响，求法简单；③可靠性差，如0，0，2，3，5这组数据中，众数是0，它很难真实反映这组数据的“平均水平”（集中趋势）；④众数在难以定义“平均数”或“中位数”时常用，故一般可用于统计非数字型数据，如“牛，羊，马，鱼，牛”这组数据中，众数是“牛”；⑤众数在销售统计中常用3、反映数据“中间水平”（集中趋势）的量——中位数中位数：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。特点：①中位数把样本数据分为两部分，一部分大于中位数，另一部分小于中位数；②中位数不受少数几个极端值的影响；③由于当样本数据为偶数个时，中位数等于中间两个数据的平均值，因此有时中位数未必在样本数据中4、反映数据“平均水平”（集中趋势）的量——平均数平均数：所有数据之和再除以数据的个数所得值，又称算术平均数。公式：特点：一般情况下能有效地反映数据的集中趋势；但易受极端值的影响，在极差较大的情况下，不如众数和中位数准确；5、反映数据“波动范围”的量——极差极差（R）：一组测量数据中，最大值与最小值之差称为极差特点：极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能精确反映测量值彼此相符合的程度；但计算简单6、反映数据“波动大小”的量——方差方差：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差（或均方差），随机变量X的方差可记作：S2（或D（X））。特点：①方差越大，数据的波动性越大；②7、反映数据“波动大小”的量——标准差标准差：方差的平方根，记作S。特点：①标准差越大，数据的波动性越大；②8、用样本来估计总体：一般情况下，如果总体的容量较大，不便分析其数据特征，我们可以通过随机抽取一定的样本，通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计；但难免有一定误差。【典型例题】考点一合理选择统计量例1、有一首打油诗“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万。”这首诗反映了什么现象？如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平？某次数学考试，婷婷得到78分。全班共30人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，以及1个2分和1个10分。婷婷计算出全班的平均分为77分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次的成绩在班上处于“中上水平”。她说得对吗？如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置？【分析】在极差较大的情况下，用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差，具体表现为标准差较大，如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3000000，而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93，所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象。【答】上述现象表明：平均数受极端值影响较大，在极差较大的情况下，不宜用平均数来刻画数据的数字特征，可选用众数或中位数。考点二从统计图表中提取样本的数字特征例2、已知一组数据共有二十个，它的频率分布直方图如下（纵轴表示频率）：试根据上图写出该组数据的中位数，...
