高一数学正弦函数、余弦函数的图象和性质通用版知识精讲VIP免费

高一数学正弦函数、余弦函数的图象和性质通用版【本讲主要内容】正弦函数、余弦函数的图象和性质【知识掌握】【知识点精析】1.正弦函数、余弦函数的图象和主要性质（见下表）名称正弦函数y=sinxx∈R余弦函数y=cosxx∈R定义域x∈Rx∈R值域y∈［－1，1］y∈［－1，1］图象周期性（最小正周期）T=2πT=2π（对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，今后所涉及的周期，如不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期）奇偶性为奇函数，图象关于原点对称为偶函数，图象关于y轴对称（如果对于函数的定义域内的任意一个x，都有，则称为这一定义域内的奇函数，相应的，若，则为偶函数）对称性对称轴，对称中心（kπ，0）（k∈Z）对称轴：对称中心：（k∈Z）单调性增区间：减区间：增区间：减区间：最大（小）值时，最大值为1时，最小值为－1（k∈Z）x=2kπ时，最大值为1x=π+2kπ时，最小值为－1（k∈Z）2.三角函数的周期性①周期函数的定义：用心爱心专心一般地，对于函数，若存在常数T（T≠0），使得当x取它定义域内的每一个值时，都有，则函数就叫做周期函数，T叫做的周期。②最小正周期：若的所有周期中存在一个最小正数，则称这个最小正数为最小正周期。③正弦函数，余弦函数都是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它们的周期，最小正周期是2π。（注意：以后若不加说明，周期都是指函数的最小正周期）④一般地：函数，x∈R及函数，x∈R（其中A，ω，为常数，且A≠0，ω>0）的周期为3.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图用几何法做出图象比较精确，但画图较繁。因此，在精度要求不太高时，我们常常采用“五点作图法”。（1）正弦函数的图象中，五个关键点是：（0，0）（，1）（π，0）（，－1）（2π，0）（2）余弦函数的图象中，五个关键点是：（0，1）（，0）（π，－1）（，0）（2π，1）因此，在精度要求不太高时，我们常常先描出五个关键点，然后用光滑的曲线依次连接起来，就分别得到了y=sinx，y=cosx，x∈［0，2π］的简图，这种作图法称为“五点法”。【解题方法指导】例1.求下列函数的定义域。（1）（2）用心爱心专心分析：应先列出使函数有意义的几个不等式，然后利用数轴或者图象求出它们的公共解集。解：（1）要使此函数有意义，必须即如图所示∴函数的定义域是：（2）依题意可知：，即∴函数的定义域为说明：确定三角函数的定义域的依据是：①正、余弦函数自身的定义域（大前提），见第一页表格。②若函数是分式函数，则分母不为零。③若函数是偶次根式，则被开方式非负。④若函数是形如的函数，则其定义域由及a>0且a≠1共同确定。例2.求下列函数的最大值与最小值。（1）（2）分析（1）：可利用y=sinx的值域求解，特别注意前面有“－”号。解（1）：当，即时用心爱心专心取最大值1，从而当，即时取最小值－1，从而分析（2）：利用三角函数的恒等变形公式将原函数化为关于sinx的二次函数，把问题转化为二次函数求最值问题。解（2）：∴当sinx=－1时，即时，当sinx=1时，即时，评述：题型①（如第1小题）求函数的最值或值域主要是利用y=sinx与y=cosx的有界性，以及复合函数的有关性质求解。题型②（如第2小题）求函数的最值或值域是将函数转化为二次函数型求解。注意：第2小题配方后的式子为，其中，而，所以sinx取不到，故y就取不到最大值。同学们很容易在此犯错误，请注意。例3.求下列函数的单调递增区间。（1）（2）分析（1）：根据基本函数的单调性来求解。解（1）：y=cos2x的单调递增区间由下面不等式确定：故函数的单调递增区间是分析（2）：原函数可以化为这样变形是为了保证“x”的系数为“正”再利用基本函数y=sinx的单调性来求解。解（2）：由用心爱心专心递减区间为的递增区间由下面不等式确定，即：故：函数的单调递增区间是评述：求形如或（其中A≠0，ω>0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“”（ω>0）视为一个“整体”...