第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数疑难突破1.正整数指数函数剖析：一般地，函数y=ax(a＞0,a1,xN+)叫做正整数指数函数.其中x是自变量，定义域是正整数集N+.表达式中的限制条件“a＞0且a1”是为了与后续内容的统一.其图象是一系列离散的点.正整数指数函数的学习为指数函数的学习埋下了伏笔，当把幂的指数从正整数扩充到实数后，指数函数概念的得出也就“水到渠成”了.2.在正整数指数函数的定义中，为什么规定a＞0且a1?剖析：（1）区别于已学的函数，当a=1时，y=1x=1成为常数函数，为突出指数函数是不同于过去学过的任何一种函数的新的函数，也为更便于对正整数指数函数的研究，故规定a1.(2)函数意义的确定性，当a=0，x≤0时0x没有意义;当a＜0时，ax对一部分实数x的值没有意义，如(-2)在实数范围内就没有意义.因此规定a＞0.疑难导析当我们学习新知识时，总是希望它与过去的知识是相互联系的.对正整数指数函数的理解，可对比我们学过的“复利和公式”去研究：设有本金a元，年增长率为p,则x年后本利和A应为A＝a(1+p)x.此外，还可对比增长问题、质量浓度问题等去认识正整数指数函数.对正整数指数函数底数的规定可从函数的定义去突破.“给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把这种对应关系f叫做定义在A上的函数.”根据实数函数的定义可知，随着函数定义域的扩展，当a≤0时是不符合函数定义的.问题探究问题正整数指数函数的图象有什么特点？探究：正整数指数函数y=ax的定义域为｛x｜xN+｝,值域为｛y｜y=ax,xN+｝,其中a＞0且a1.①当0＜a＜1时，如a=,则列表、描点可得其图象(如图3-1-1)x1234…y…故y=xN+的图象为一系列孤立的点，它是单调递减的.图3-1-1图3-1-2②当a＞1时，如a=2,则列表、描点可得其图象(如图3-1-2).故y=2x,xN+的图象为一系列孤立的点，它是单调递增的.由此可归纳出正整数指数函数的特点为：（1）正整数指数函数的定义域为正整数，因此其图象是一系列孤立的点.(2)当底数a＞1时，其图象是上升的;当底数0＜a＜1时，其图象是下降的.§2指数概念的扩充疑难突破1.整数指数幂剖析：为了学习分数指数幂，本小节首先回顾了初中数学学过的整数指数幂的概念，即正整数指数幂、零指数幂和负整数指数幂的意义.特别注意：零的零次幂没有意义;零的负整数次幂也没有意义.事实上，a-p=(p为正整数)，因为是分式，分母不能是零，所以限定底数a0.教材验证了同底数幂的乘法性质适用于整数指数幂.同样可以验证性质(4)(5).教材通过例2说明可以归入性质(3);同理，性质(4)由正整数指数幂的运算性质可以推广到整数.也可归入性质(1).于是，整数指数幂的运算性质可归纳如上：整数指数幂满足以下三个运算性质：(1)am·an=am+n(m、nZ);(2)(am)n=anm（m、nZ）;(3)(ab)n=an·bn(nZ).在这里，对于底数应有使等号两边都有意义的限定，即对于零指数幂或负整数指数幂，底数不等于零，指数可以是任意整数.整数指数幂满足以下三个不等性质.(1)若a＞0,则an＞0(nZ);(2)若a＞1,则an＞1(nN+);(3)若0＜a＜1,则0＜an＜1(nN+).2.分数指数幂剖析：在35=243这个式子中，243是3的5次幂;我们把3叫做243的次幂，记作3=243.推广得到a的次幂的概念.同样，由于43=82,这时4可记作8,即4=8.推广得到a的次幂的概念.由此得到正分数指数幂的概念.正分数指数幂与根式之间可以互化：a=(a＞0).由于学过负整数次幂，正分数指数幂引入后，不难得到负分数指数幂的意义：（a＞0,m、nN+且n＞1）.教材在得到分数指数幂后，补充规定：“0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义”.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数a或（m、nN+）的形式.在这里，对底数a有所限制，即a＞0.3.有理数指数幂和实数指数幂剖析：对于每一个有理数a，可确定一个有理数指数幂aα（a＞0）与它对应，这样就可把整数指数幂扩展到有理数指数幂.同理，对于每一个无理数α,可确定一个无理数指数幂aα与它对应，这样就可以把有理数指数幂扩展到实数指数幂(其中a＞0).同时，可以把整数指数函数扩展到有理数指数函数，进一步扩展到实数指数函数.教材...
