高一数学圆的方程以及圆的有关性质北师大版知识精讲VIP免费

高一数学圆的方程以及圆的有关性质北师大版【本讲教育信息】一.教学内容：圆的方程以及圆的有关性质二、学习目标1、通过图片欣赏探索确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程与一般方程。能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系；会利用直线方程和圆的方程解决简单的位置关系问题和度量问题；2、经历具体图形探索，确定圆的几何要素的过程；经历用待定系数法求圆的方程的过程；在学习过程中体会用代数方法处理几何问题的思想；3、体会转化、数形结合等数学思想和方法。三、知识要点1、圆的定义①运动的观念：平面内一条线段绕着一个端点旋转，另一个端点形成的轨迹；其中，静止的端点叫做圆心，线段的长等于半径。②集合的观念：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长等于半径。2、圆的方程①标准形式：圆心为（a，b），半径为r的圆的方程的标准形式是(x－a)2+(y－b)2=r2.特别地，当圆心在原点的时候，其方程为x2+y2=r2.②一般形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）上式可变形为：（x+2D）2+（y+2E）2=4422FED.说明：（1）圆的一般方程体现了圆的方程的代数特点：a.x2、y2项的系数相等且不为零.b.没有xy项.（2）若D2+E2－4F>0时，（*）式表示的是以为圆心，以为半径的圆；若D2+E2－4F=0时，（*）式表示的是一个点；D2+E2－4F<0时，（*）式不表示任何图形。用心爱心专心3、二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0.4、点与圆的位置关系设圆心为M，半径为R，对于点P①|PM|=R：点P在圆上；②|PM|R：点P在圆外。5、求曲线方程的两种方法①直接法：在不明确曲线是何种曲线的情形下，根据条件，寻找或构造等量关系，列等式，代坐标，得方程。一般步骤：建系——设点——列等式——代坐标——化简整理②待定系数法：在明确曲线是何种曲线的情形下，可设出该类型曲线的一般情形，再由条件求出其中的参数即可。四、点与典型例题考点一对圆的方程的讨论例1设方程x2+y2－2(m+3)x+2(1－4m2)y+16m4+9=0。（1）当m为何值时，该方程表示一个圆；（2）当m为何值时，该方程表示的圆的半径最大；（3）该方程表示圆时，求圆心的轨迹方程解：①由二元二次方程表示圆的条件可知：D2+E2－4F>0，代入可解得：②由二元二次方程表示圆的条件可知：该圆的半径为，当时有最大值③由二元二次方程表示圆的条件可知：该圆的圆心坐标为故得圆心所在曲线方程为：说明：对含有参变量的圆的方程的讨论是本课的一个重要题型，一定要结合二元二次方程表示圆的条件进行研究。考点二求圆的方程例2设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为（x，y），由||||PBPA=a（a>0）得2222)()(ycxycx=a，化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.当a=1时，方程化为x=0.当a≠1时，方程化为（x－1122aac）2+y2=（122aac）2.用心爱心专心所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点（1122aac，0）为圆心，|122aac|为半径的圆.说明：本题采用了直接求法，即根据题给条件，寻找等量关系，然后代入坐标得到方程。主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.例3已知圆心在x轴上，半径是5，且以A（5，4）为中点的弦长是25，求这个圆的方程。解：设圆心坐标为B（a，0)，以A为中点的弦的一个端点为C，则圆的方程为(x－a)2+y2=25由于|AB|2+|AC|2=|BC|2从而，（a－5)2+16+5=25得a=7或a=3.故这个圆的方程为(x－7)2+y2=25或(x－3)2+y2=25说明：本题采用的是待定系数法，即设出圆的方程，其中含有一个参数a，根据题给条件求出即可。考点三对圆系方程的研究例4已知圆C经过圆的交点且经过原点，求圆C的方程。解：设圆C的方程为，因其过原点，故代入原点坐标得：，即圆C的方程为说明：常见的圆系方程有：①过定直线22:00lAxByCxyDxEyF和定圆两交点的圆系：②...