向量的基本运算一、基本知识：1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等概念．2．掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．3掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．4．理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算．二、例题分析：例1化简以下各式：①AB+BC+CA；②AB－AC＋BD－CD；③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP．结果为０的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４分析题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为０．答Ｄ．变题作图验证A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An=A1An（n≥2，n∈N）．例2如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA=3a，CB=2b，求CD，CE．分析本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．如已知CA、CB可求AB，根据AD、AE、AB均为共线向量，故又可求得AD、DE、．由CA、AD又可求CD，由DE、CD又可求CE．解AB=AC+CB=－3a+2b，因D、E为AB的两个三等分点，故AD=AB=－a＋b=DE，CD=CA＋AD=3a－a＋b=2a＋b，用心爱心专心ABCDECE=CD＋DE=2a＋b－a＋b=a＋b．点评三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．例3已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC=mPA+nPB，且m+n=1．分析A、B、C三点共线的一个充要条件是存在实数λ，使得AC=λAB．很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC、AB，对此，我们不妨利用PC=PA＋AC来转化，以便进一步分析求证．证明充分性，由PC=mPA＋nPB，m＋n=1，得PA＋AC=mPA＋n（PA＋AB）=（m＋n）PA＋nAB=PA＋nAB，∴AC=nAB．∴A、B、C三点共线．必要性:由A、B、C三点共线知，存在常数λ，使得AC=λAB，即AP+PC=λ（AP+PB）．PC=（λ－1）AP＋λPB=（1－λ）PA＋λPB，m=1－λ，n=λ，m＋n=1，PC=mPA＋nPB．点评逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识．变题在ΔABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC=AB，试确定点P的位置．答：P在AC边上，且P为AC的一个三等分点（距A点较近）例4（1）若点O是三角形ABC的重心，求证：OA＋OB＋OC=0；（2）若O为正方形ABCD的中心，求证：OA＋OB＋OC＋OD=0；（3）若O为正五边形ABCDE的中心，求证：OA＋OB＋OC＋OD＋OE=0．若O为正n边形A1A2A3…An的中心，OA1＋OA2＋OA3＋…＋OAn=0还成立吗？用心爱心专心说明理由．分析本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似．证明:点评本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想．面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况；面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型．注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律．如退到正方形情况，发现OA＋OB与OC＋OD正好互为相反向量，结论成立．这一方法却不具一般性．三、训练反馈：1．下列各式正确的是：（A）A．∣a－b∣≤∣a∣+∣b∣B．|a+b∣>∣a∣+∣b∣C．∣a+b∣>∣a－b∣D．∣a－b∣=∣a∣－∣b∣2．下面式子中不能化简成AD的是（B）A．OC－OA＋CDB．PB－DA－BPC．AB－DC＋BCD．（AD－BM）＋（BC－MC）3．在正六边形ABCDEF中，O为中心，若OA=a，OE=b，用a、b表示向量OB，OC，OD，结果分别为（A）用心爱心专心A．－b，－b－a，－aB．b，－a，b－aC．－b，a，a－bD．－b，－a，a＋b4．已知P为△ABO所在平面内的一点，满足OP=，则P在（A）A．∠AOB的平分线所在直线上B．线段AB的中垂线上C．AB边所在的直线上D．AB边的中线上．5．P为△ABC所在平面内一点，PA＋PB＋PC=0，则P为△ABC的（A）A．重心B．垂心C．内心D．外心6．（2a＋8b）－（4a－2b）=－2a＋10b.7．在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB=－a－b8．设a表示向东3km，b表示向北偏东30º走3...
